Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13231
2020-02-16 
Конденсаторы с емкостями 1 мкФ и 2 мкФ соединили последовательно и подключили к источнику напряжения 300 В. После этого источник отключили, а вместо него включили резистор сопротивлением 30 кОм. Одновременно резистор сопротивлением 10 кОм подключили параллельно выводам конденсатора большей емкости. Найдите заряды, протекшие через каждый из резисторов за большое время. Какое количество теплоты выделилось в меньшем из резисторов? Сопротивление проводов мало.
Решение:
Сразу после отключения батарейки напряжения конденсаторов составляют 100 В на конденсаторе емкостью $2C = 2 мкФ$ и 200 В на конденсаторе емкостью $C = 1 мкФ$. Тогда при подключении резисторов (см. рисунок) по ним потекут токи $I_{1} = \frac{300 B}{30 кОм} = 10 мА$ и $I_{2} = \frac{100 B}{10 кОм} = 10мА$. Видно, что конденсатор емкостью $2C$ разряжается током $I_{1} + I_{2} = 20 мА$, его заряд убывает вдвое быстрее, чем у конденсатора емкостью $C$, и напряжения на конденсаторах изменяются одинаково.
Заряды, протекшие через резисторы, можно найти, анализируя начальные и конечные заряды конденсаторов. В конце концов оба конденсатора окажутся полностью разряжеными. Тогда заряд, протекший через резистор сопротивлением 30 кОм, равен начальному заряду верхней обкладки верхнего конденсатора, т.е. $\frac{2CU}{3} = 2 \cdot 10^{-4} Кл$. Суммарный заряд изолированных вначале обкладок конденсаторов был равен нулю, и в конце он тоже нулевой. Значит, через резистор сопротивлением 1 кОм протек в сумме нулевой заряд, т.е. сначала ток через этот резистор тек в одну сторону, а потом - в другую.
Полная энергия системы сразу после отключения источника составляет
$\frac{2C}{3} \frac{U^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 10^{-6}}{3} \frac{300^{2}}{2} Дж = 30 \cdot 10^{-3} Дж$.
Именно это количество теплоты в сумме выделится на двух резисторах, а нам нужно посчитать долю этого тепла, выделившуюся в резисторе сопротивлением 10 кОм. Если бы токи так и оставались одинаковыми до полного разряда конденсаторов, то в этом резисторе выделилась бы втрое меньшая энергия - общее количество теплоты распределилось бы в отношении 3:1. Но так не получится, поскольку по мере разряда конденсаторов токи перестают быть одинаковыми (вот если бы отношения напряжений конденсаторов не изменялись, токи оставались бы равными друг другу). Равенство нарушится сразу, как только напряжения конденсаторов уменьшатся на одну и ту же величину. Сделаем еще одно приближение: если изменения напряжения одинаковы, то при уменьшении каждого напряжения на 100 В ток через резистор сопротивлением 10 кОм вообще прекратится, а вся оставшаяся энергия достанется резистору сопротивлением 30 кОм. Считая токи до этого момента одинаковыми, получим следующее: остаток энергии составит $\frac{1 \cdot 10^{-6}}{3} \frac{100^{2}}{2} Дж = 5 \cdot 10^{-3} Дж$, рассеявшиеся к этому моменту $25 \cdot 10^{-3} Дж$ поделятся в отношении 3:1, при этом резистору сопротивлением 10 кОм достанется примерно $6 \cdot 10^{-3} Дж$, остальные $24 \cdot 10^{-3} Дж$ рассеются в резисторе сопротивлением 30 кОм.
Можно было бы ограничиться этим приближенным расчетом, но числа в условии явно округленные. В таком случае нужно либо считать все точно, аналитически (конечно, если получится), либо ограничиться приблизительной оценкой. Но аналитически считать в этой задаче получается с трудом (вот курсе на втором, да на Физтехе...) - посчитаем приближенно. Нашу оценку можно уточнить, если взять не сразу изменение на 100 В, а вначале, скажем, на 20 В, посчитать новые напряжения на конденсаторах и новые значения токов, потом еще на 20 В для конденсатора емкостью $C$, посчитать изменение на конденсаторе емкостью $2C$, найти новые токи и так далее. У меня такой расчет с помощью обычного инженерного калькулятора занял примерно 20 минут, получилось для резистора сопротивлением 10 кОм примерно $4 \cdot 10^{-3} Дж$, а для второго резистора - $26 \cdot 10^{-3} Дж$ соответственно. Точное решение дает практически тот же результат.
Конденсаторы с емкостями 1 мкФ и 2 мкФ соединили последовательно и подключили к источнику напряжения 300 В. После этого источник отключили, а вместо него включили резистор сопротивлением 30 кОм. Одновременно резистор сопротивлением 10 кОм подключили параллельно выводам конденсатора большей емкости. Найдите заряды, протекшие через каждый из резисторов за большое время. Какое количество теплоты выделилось в меньшем из резисторов? Сопротивление проводов мало.
Решение:
Сразу после отключения батарейки напряжения конденсаторов составляют 100 В на конденсаторе емкостью $2C = 2 мкФ$ и 200 В на конденсаторе емкостью $C = 1 мкФ$. Тогда при подключении резисторов (см. рисунок) по ним потекут токи $I_{1} = \frac{300 B}{30 кОм} = 10 мА$ и $I_{2} = \frac{100 B}{10 кОм} = 10мА$. Видно, что конденсатор емкостью $2C$ разряжается током $I_{1} + I_{2} = 20 мА$, его заряд убывает вдвое быстрее, чем у конденсатора емкостью $C$, и напряжения на конденсаторах изменяются одинаково.
Заряды, протекшие через резисторы, можно найти, анализируя начальные и конечные заряды конденсаторов. В конце концов оба конденсатора окажутся полностью разряжеными. Тогда заряд, протекший через резистор сопротивлением 30 кОм, равен начальному заряду верхней обкладки верхнего конденсатора, т.е. $\frac{2CU}{3} = 2 \cdot 10^{-4} Кл$. Суммарный заряд изолированных вначале обкладок конденсаторов был равен нулю, и в конце он тоже нулевой. Значит, через резистор сопротивлением 1 кОм протек в сумме нулевой заряд, т.е. сначала ток через этот резистор тек в одну сторону, а потом - в другую.
Полная энергия системы сразу после отключения источника составляет
$\frac{2C}{3} \frac{U^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 10^{-6}}{3} \frac{300^{2}}{2} Дж = 30 \cdot 10^{-3} Дж$.
Именно это количество теплоты в сумме выделится на двух резисторах, а нам нужно посчитать долю этого тепла, выделившуюся в резисторе сопротивлением 10 кОм. Если бы токи так и оставались одинаковыми до полного разряда конденсаторов, то в этом резисторе выделилась бы втрое меньшая энергия - общее количество теплоты распределилось бы в отношении 3:1. Но так не получится, поскольку по мере разряда конденсаторов токи перестают быть одинаковыми (вот если бы отношения напряжений конденсаторов не изменялись, токи оставались бы равными друг другу). Равенство нарушится сразу, как только напряжения конденсаторов уменьшатся на одну и ту же величину. Сделаем еще одно приближение: если изменения напряжения одинаковы, то при уменьшении каждого напряжения на 100 В ток через резистор сопротивлением 10 кОм вообще прекратится, а вся оставшаяся энергия достанется резистору сопротивлением 30 кОм. Считая токи до этого момента одинаковыми, получим следующее: остаток энергии составит $\frac{1 \cdot 10^{-6}}{3} \frac{100^{2}}{2} Дж = 5 \cdot 10^{-3} Дж$, рассеявшиеся к этому моменту $25 \cdot 10^{-3} Дж$ поделятся в отношении 3:1, при этом резистору сопротивлением 10 кОм достанется примерно $6 \cdot 10^{-3} Дж$, остальные $24 \cdot 10^{-3} Дж$ рассеются в резисторе сопротивлением 30 кОм.
Можно было бы ограничиться этим приближенным расчетом, но числа в условии явно округленные. В таком случае нужно либо считать все точно, аналитически (конечно, если получится), либо ограничиться приблизительной оценкой. Но аналитически считать в этой задаче получается с трудом (вот курсе на втором, да на Физтехе...) - посчитаем приближенно. Нашу оценку можно уточнить, если взять не сразу изменение на 100 В, а вначале, скажем, на 20 В, посчитать новые напряжения на конденсаторах и новые значения токов, потом еще на 20 В для конденсатора емкостью $C$, посчитать изменение на конденсаторе емкостью $2C$, найти новые токи и так далее. У меня такой расчет с помощью обычного инженерного калькулятора занял примерно 20 минут, получилось для резистора сопротивлением 10 кОм примерно $4 \cdot 10^{-3} Дж$, а для второго резистора - $26 \cdot 10^{-3} Дж$ соответственно. Точное решение дает практически тот же результат.
