Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13229
2020-02-16 
Легкий жесткий стержень длиной $L$ с двумя маленькими массивными шариками на концах - масса нижнего шарика $M$, верхнего $m$ - поставили на шероховатую горизонтальную поверхность под углом $\alpha$ к вертикали и отпустили. При каких значениях коэффициента трения $\mu$ между стержнем и столом проскальзывание начнется сразу после того, как мы отпустим стержень? Найдите ускорения шариков сразу после отпускания для конкретного случая: $M = m, \alpha = 30^{ \circ}, \mu = 0,2$.
Решение:
Рассмотрим "граничное" значение коэффициента трения: уже при чуть меньшем значении проскальзывание начнется сразу после того, как мы отпустим стержень. В этом случае (см. рисунок) $F_{тр} = \mu N$, и ускорение нижнего шарика массой $M$ равно нулю. Тогда для этого шарика можно записать уравнение движения по горизонтали:
$T \sin \alpha = \mu N$
и по вертикали:
$Mg + T \cos \alpha - N = 0$.
Для верхнего шарика можно сказать следующее: его начальная скорость равна нулю, поэтому нормальная составляющая его ускорения (направленная вдоль стержня) также равна нулю, т.е.
$mg \cos \alpha - T = 0$.
Из этих уравнений легко найти "граничное" значение коэффициента трения $\mu$:
$\mu = \frac{ \sin \alpha \cos \alpha}{ \cos^{2} \alpha + \frac{M}{m}}$.
Для частного случая $M = m$ и $\alpha = 30^{ \circ}$ это значение равно $\frac{ \sqrt{3}}{7} \approx 0,25 > 0,2$ - это значит, что проскальзывание начинается сразу. Тогда ускорение верхнего шарика равно
$a_{1} = g \sin \alpha = \frac{g}{2} \approx 5 м/с^{2}$
и направлено перпендикулярно стержню (это - касательная составляющая, нормальная же составляющая равна нулю). Для нижнего шарика ускорение направлено горизонтально и составляет
$a_{2} = \frac{mg \cos \alpha \sin \alpha - \mu (Mg + mg \cos^{2} \alpha )}{M} = g( \cos 30^{ \circ} \sin 30^{ \circ} - 0,2 (1+ \cos^{2} 30^{ \circ} ) ) \approx 0,084g = 0,84 м/с^{2}$.
Легкий жесткий стержень длиной $L$ с двумя маленькими массивными шариками на концах - масса нижнего шарика $M$, верхнего $m$ - поставили на шероховатую горизонтальную поверхность под углом $\alpha$ к вертикали и отпустили. При каких значениях коэффициента трения $\mu$ между стержнем и столом проскальзывание начнется сразу после того, как мы отпустим стержень? Найдите ускорения шариков сразу после отпускания для конкретного случая: $M = m, \alpha = 30^{ \circ}, \mu = 0,2$.
Решение:
Рассмотрим "граничное" значение коэффициента трения: уже при чуть меньшем значении проскальзывание начнется сразу после того, как мы отпустим стержень. В этом случае (см. рисунок) $F_{тр} = \mu N$, и ускорение нижнего шарика массой $M$ равно нулю. Тогда для этого шарика можно записать уравнение движения по горизонтали:
$T \sin \alpha = \mu N$
и по вертикали:
$Mg + T \cos \alpha - N = 0$.
Для верхнего шарика можно сказать следующее: его начальная скорость равна нулю, поэтому нормальная составляющая его ускорения (направленная вдоль стержня) также равна нулю, т.е.
$mg \cos \alpha - T = 0$.
Из этих уравнений легко найти "граничное" значение коэффициента трения $\mu$:
$\mu = \frac{ \sin \alpha \cos \alpha}{ \cos^{2} \alpha + \frac{M}{m}}$.
Для частного случая $M = m$ и $\alpha = 30^{ \circ}$ это значение равно $\frac{ \sqrt{3}}{7} \approx 0,25 > 0,2$ - это значит, что проскальзывание начинается сразу. Тогда ускорение верхнего шарика равно
$a_{1} = g \sin \alpha = \frac{g}{2} \approx 5 м/с^{2}$
и направлено перпендикулярно стержню (это - касательная составляющая, нормальная же составляющая равна нулю). Для нижнего шарика ускорение направлено горизонтально и составляет
$a_{2} = \frac{mg \cos \alpha \sin \alpha - \mu (Mg + mg \cos^{2} \alpha )}{M} = g( \cos 30^{ \circ} \sin 30^{ \circ} - 0,2 (1+ \cos^{2} 30^{ \circ} ) ) \approx 0,084g = 0,84 м/с^{2}$.
