Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13228
2020-02-16 
Дно очень узкого и глубокого колодца квадратного сечения освещают подвешенной на уровне земли маленькой лампочкой, равноудаленной от его стенок. Стенки колодца зеркальные, но покрыты тонким ровным слоем пыли, так что отражается только 98% энергии падающего света. Во сколько раз темнее станет в центре дна колодца, когда пыли со временем станет в 2 раза больше?
Решение:
Заметим, что когда пыли станет в 2 раза больше, коэффициент отражения уменьшится от 0,98 до 0,96 (поглощается вдвое больше).
Стоя на дне колодца, мы видим над головой настоящий источник света, т.е. лампочку, и множество мнимых источников, расположенных по центрам смежных друг с другом квадратов. Яркость мнимого источника зависит от соответствующего числа отражений от стенок. Например, если мнимый источник находится на $m$ "клеточек" правее и на $n$ "клеточек" выше, то число отражений, которое испытает луч, идущий к нам от этого источника, будет $m + n$. Примем освещенность от истинной лампочки за единицу. Тогда освещенность от указанного мнимого источника будет $E = k^{m+n}$, где $k$ - коэффициент отражения. Здесь мы пренебрегаем изменением расстояния до источника, так как основной вклад в освещенность будут давать близкие к истинному источники. Как легко заметить, существуют такие мнимые источники, что отрезок, соединяющий их с центром дна (где мы стоим), содержит вершину квадрата. Очевидно, что в очень близкой к нам точке дна освещенность от такого источника будет описываться приведенной выше формулой, поскольку отрезок уже не будет содержать вершин.
Итак, осталось сложить освещенности от всех источников. Сначала сложим все источники с определенным $m$:
$k^{m + 0} + 2k^{m + 1} + 2k^{m + 2} + \cdots = \frac{1 + k}{1 - k} k^{m}$.
А теперь сложим все $m$:
$E_{полная} = \frac{1 + k}{1 - k} (k^{0} + 2k^{1} + 2k^{2} + \cdots ) = \left ( \frac{1+ k}{1 - k} \right )^{2}$.
Подставим значения $k = 0,98$ в первом случае и $k = 0,96$ во втором: $E_{полная \: 1} = 0,9801, E_{полная \: 2} = 0,2401$. Видно, что темнее станет приблизительно в 4 раза.
Дно очень узкого и глубокого колодца квадратного сечения освещают подвешенной на уровне земли маленькой лампочкой, равноудаленной от его стенок. Стенки колодца зеркальные, но покрыты тонким ровным слоем пыли, так что отражается только 98% энергии падающего света. Во сколько раз темнее станет в центре дна колодца, когда пыли со временем станет в 2 раза больше?
Решение:
Заметим, что когда пыли станет в 2 раза больше, коэффициент отражения уменьшится от 0,98 до 0,96 (поглощается вдвое больше).
Стоя на дне колодца, мы видим над головой настоящий источник света, т.е. лампочку, и множество мнимых источников, расположенных по центрам смежных друг с другом квадратов. Яркость мнимого источника зависит от соответствующего числа отражений от стенок. Например, если мнимый источник находится на $m$ "клеточек" правее и на $n$ "клеточек" выше, то число отражений, которое испытает луч, идущий к нам от этого источника, будет $m + n$. Примем освещенность от истинной лампочки за единицу. Тогда освещенность от указанного мнимого источника будет $E = k^{m+n}$, где $k$ - коэффициент отражения. Здесь мы пренебрегаем изменением расстояния до источника, так как основной вклад в освещенность будут давать близкие к истинному источники. Как легко заметить, существуют такие мнимые источники, что отрезок, соединяющий их с центром дна (где мы стоим), содержит вершину квадрата. Очевидно, что в очень близкой к нам точке дна освещенность от такого источника будет описываться приведенной выше формулой, поскольку отрезок уже не будет содержать вершин.
Итак, осталось сложить освещенности от всех источников. Сначала сложим все источники с определенным $m$:
$k^{m + 0} + 2k^{m + 1} + 2k^{m + 2} + \cdots = \frac{1 + k}{1 - k} k^{m}$.
А теперь сложим все $m$:
$E_{полная} = \frac{1 + k}{1 - k} (k^{0} + 2k^{1} + 2k^{2} + \cdots ) = \left ( \frac{1+ k}{1 - k} \right )^{2}$.
Подставим значения $k = 0,98$ в первом случае и $k = 0,96$ во втором: $E_{полная \: 1} = 0,9801, E_{полная \: 2} = 0,2401$. Видно, что темнее станет приблизительно в 4 раза.
