Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13227
2020-02-16 
Для задержки во времени звуковых сигналов в прежние годы часто использовали массивную пружину, вдоль которой распространялась упругая волна. Итак, длинная однородная пружина лежит на гладком горизонтальном столе. За один конец пружину начинают растягивать, при этом ее длина увеличивается за 1 с на 5 см. Через какое время упругая волна добежит до второго конца пружины? Длина всей пружины 5 м, полная ее масса 2 кг, а жесткость 100 Н/м.
Решение:
Для того чтобы конец пружины двигался с постоянной скоростью $v = 5 см/с$, нужно прикладывать неизменную силу $F$ - во всяком случае, до того момента, когда упругая волна добежит до второго конца пружины и он придет в движение. Обозначим скорость упругой волны в пружине буквой $c$, тогда искомый интервал времени будет равен $T = \frac{L}{c}$, где $L$ - длина пружины.
Пусть от начала движения прошло время $\tau < T$. Тогда длина "работающей" части пружины равна $c \tau$ и растянута на $x = v \tau$. Для этой части жесткость равна
$k^{*} = k \frac{L}{c \tau }$, и сила упругости составляет
$F = k^{*}x = k \frac{L}{c \tau} v \tau = kL \frac{v}{c}$.
С другой стороны, со временем меняется импульс пружины - за счет вовлечения все новых ее частей в движение со скоростью $v$:
$F \tau = m^{*}v = m \frac{c \tau }{L}v$, откуда $F = \frac{mcv}{L}$.
Сравнивая два выражения для силы $F$, получаем
$kL \frac{v}{c} = \frac{mcv}{L}$, или $c^{2} = \frac{kL^{2} }{m}$.
Отсюда находим искомое время:
$T = \frac{L}{c} = \sqrt{ \frac{m}{k} } = \sqrt{ \frac{2 кг}{100 Н/м}} = 0,14 с$.
Интересно, что ответ не зависит от длины пружины. На самом деле, зависит - длина "спрятана" в значения массы и жесткости. Если увеличить длину пружины, не меняя свойств отдельных витков, то изменятся и масса $m$, и жесткость $k$. В результате, если увеличить число витков, например, вдвое (длина при этом будет $2L$), то масса увеличится вдвое, жесткость уменьшится вдвое и время запаздывания также увеличится вдвое. А вот от скорости движения конца пружины ответ и в самом деле не зависит - лишь бы она была мала по сравнению со скоростью распространения упругой волны.
Для задержки во времени звуковых сигналов в прежние годы часто использовали массивную пружину, вдоль которой распространялась упругая волна. Итак, длинная однородная пружина лежит на гладком горизонтальном столе. За один конец пружину начинают растягивать, при этом ее длина увеличивается за 1 с на 5 см. Через какое время упругая волна добежит до второго конца пружины? Длина всей пружины 5 м, полная ее масса 2 кг, а жесткость 100 Н/м.
Решение:
Для того чтобы конец пружины двигался с постоянной скоростью $v = 5 см/с$, нужно прикладывать неизменную силу $F$ - во всяком случае, до того момента, когда упругая волна добежит до второго конца пружины и он придет в движение. Обозначим скорость упругой волны в пружине буквой $c$, тогда искомый интервал времени будет равен $T = \frac{L}{c}$, где $L$ - длина пружины.
Пусть от начала движения прошло время $\tau < T$. Тогда длина "работающей" части пружины равна $c \tau$ и растянута на $x = v \tau$. Для этой части жесткость равна
$k^{*} = k \frac{L}{c \tau }$, и сила упругости составляет
$F = k^{*}x = k \frac{L}{c \tau} v \tau = kL \frac{v}{c}$.
С другой стороны, со временем меняется импульс пружины - за счет вовлечения все новых ее частей в движение со скоростью $v$:
$F \tau = m^{*}v = m \frac{c \tau }{L}v$, откуда $F = \frac{mcv}{L}$.
Сравнивая два выражения для силы $F$, получаем
$kL \frac{v}{c} = \frac{mcv}{L}$, или $c^{2} = \frac{kL^{2} }{m}$.
Отсюда находим искомое время:
$T = \frac{L}{c} = \sqrt{ \frac{m}{k} } = \sqrt{ \frac{2 кг}{100 Н/м}} = 0,14 с$.
Интересно, что ответ не зависит от длины пружины. На самом деле, зависит - длина "спрятана" в значения массы и жесткости. Если увеличить длину пружины, не меняя свойств отдельных витков, то изменятся и масса $m$, и жесткость $k$. В результате, если увеличить число витков, например, вдвое (длина при этом будет $2L$), то масса увеличится вдвое, жесткость уменьшится вдвое и время запаздывания также увеличится вдвое. А вот от скорости движения конца пружины ответ и в самом деле не зависит - лишь бы она была мала по сравнению со скоростью распространения упругой волны.
