Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13226
2020-02-16 
К "мостику" из конденсаторов (рис.) подключили батарейку напряжением $U_{0}$, затем ее отключили, а между точками А и Б включили катушку индуктивностью $L$. Найдите максимальный ток через катушку. Найдите также полный заряд, протекший через катушку, и выделившееся в ней количество теплоты. Сопротивление соединительных проводов очень мало, сопротивление провода, которым намотана катушка, считать небольшим.
Решение:
После отключения батарейки каждый конденсатор имеет заряд $q = \frac{3}{4} CU_{0}$, и полная энергия системы равна
$W_{1} = \frac{3}{4} CU_{0}^{2}$.
Пусть в момент, когда $\phi_{А} = \phi_{Б}$ (при максимальном токе катушки индуктивности) заряды конденсаторов слева $Q_{1}$ и $Q_{2}$ (рис.), тогда справа заряды будут $Q_{2}$ и $Q_{1}$ (симметрия тут очевидна). Для равенства потенциалов $\phi_{А}$ и $\phi_{Б}$ нужно, чтобы выполнялось такое соотношение между зарядами: $Q_{2} = 3Q_{1}$. Из закона сохранения заряда (верхние пластины конденсаторов емкостями $C$ и $3C$) получим
$Q_{1} + Q_{2} = \frac{3}{2} CU_{0}$.
Отсюда находим
$Q_{1} = \frac{3}{8}CU_{0}$ и $Q_{2} = \frac{9}{8}CU_{0}$.
Теперь общая энергия конденсаторов равна
$W_{2} = 2 \left ( \frac{Q_{1}^{2} }{2C} + \frac{Q_{2}^{2} }{6C} \right ) = \frac{9}{16} CU_{0}^{2}$.
В соответствии с законом сохранения энергии,
$W_{1} = W_{2} + \frac{LI_{m}^{2}}{2}$,
откуда
$I_{m} = \sqrt{ \frac{2 (W_{1} - W_{2})}{L}} = \sqrt{ \frac{3}{8} \frac{CU_{0}^{2} }{L} }$.
Перетекающий через катушку заряд посчитать легко: вначале суммарный заряд пластин, подключенных к точке А, был нулевым - теперь он равен
$Q = -Q_{1} + Q_{2} = \frac{3}{4} CU_{0}$.
Значит, столько и перетекло через катушку.
В тепло уйдет "бывшая" энергия катушки, подсчитанная для случая $\phi_{А} = \phi_{Б}$:
$W_{тепл} = W_{1} - W_{2} = \frac{3}{16}CU_{0}^{2}$.
При решении мы считали, что за часть периода колебаний до достижения максимального тока через катушку только малая часть энергии системы перейдет в тепло.
К "мостику" из конденсаторов (рис.) подключили батарейку напряжением $U_{0}$, затем ее отключили, а между точками А и Б включили катушку индуктивностью $L$. Найдите максимальный ток через катушку. Найдите также полный заряд, протекший через катушку, и выделившееся в ней количество теплоты. Сопротивление соединительных проводов очень мало, сопротивление провода, которым намотана катушка, считать небольшим.
Решение:
После отключения батарейки каждый конденсатор имеет заряд $q = \frac{3}{4} CU_{0}$, и полная энергия системы равна
$W_{1} = \frac{3}{4} CU_{0}^{2}$.
Пусть в момент, когда $\phi_{А} = \phi_{Б}$ (при максимальном токе катушки индуктивности) заряды конденсаторов слева $Q_{1}$ и $Q_{2}$ (рис.), тогда справа заряды будут $Q_{2}$ и $Q_{1}$ (симметрия тут очевидна). Для равенства потенциалов $\phi_{А}$ и $\phi_{Б}$ нужно, чтобы выполнялось такое соотношение между зарядами: $Q_{2} = 3Q_{1}$. Из закона сохранения заряда (верхние пластины конденсаторов емкостями $C$ и $3C$) получим
$Q_{1} + Q_{2} = \frac{3}{2} CU_{0}$.
Отсюда находим
$Q_{1} = \frac{3}{8}CU_{0}$ и $Q_{2} = \frac{9}{8}CU_{0}$.
Теперь общая энергия конденсаторов равна
$W_{2} = 2 \left ( \frac{Q_{1}^{2} }{2C} + \frac{Q_{2}^{2} }{6C} \right ) = \frac{9}{16} CU_{0}^{2}$.
В соответствии с законом сохранения энергии,
$W_{1} = W_{2} + \frac{LI_{m}^{2}}{2}$,
откуда
$I_{m} = \sqrt{ \frac{2 (W_{1} - W_{2})}{L}} = \sqrt{ \frac{3}{8} \frac{CU_{0}^{2} }{L} }$.
Перетекающий через катушку заряд посчитать легко: вначале суммарный заряд пластин, подключенных к точке А, был нулевым - теперь он равен
$Q = -Q_{1} + Q_{2} = \frac{3}{4} CU_{0}$.
Значит, столько и перетекло через катушку.
В тепло уйдет "бывшая" энергия катушки, подсчитанная для случая $\phi_{А} = \phi_{Б}$:
$W_{тепл} = W_{1} - W_{2} = \frac{3}{16}CU_{0}^{2}$.
При решении мы считали, что за часть периода колебаний до достижения максимального тока через катушку только малая часть энергии системы перейдет в тепло.
