Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13224
2020-02-16 
На горизонтально расположенном непроводящем стержне закреплены два маленьких тела, заряженных положительно (заряды нам неизвестны). Еще одно положительно заряженное тело - маленькая бусинка - может двигаться без трения вдоль стержня. Бусинка совершает малые колебания около положения равновесия. Во сколько раз изменится период таких колебаний, если расстояние между неподвижными зарядами уменьшится вдвое (разумеется, их для этого придется сделать на некоторое время подвижными)?
Решение:
Пусть один из неподвижных зарядов равен $Q$ и расстояние от него до равновесного положения бусинки с зарядом $q$ составляет $l$. Тогда для второго заряда, равного $nQ$, это расстояние составит $l \sqrt{n}$. Сместим теперь заряд $q$ вдоль прямой на очень малое расстояние $x$ в сторону заряда $nQ$. Тогда сила, действующая на бусинку, будет равна
$F = k \frac{Qq}{(l + x)^{2} } - k \frac{nQq}{( \sqrt{n}l - x )^{2} } = \frac{kQq}{l^{2} } \left ( \frac{1}{ \left ( 1 + \frac{x}{l} \right )^[2 } - \frac{n}{ \left ( \sqrt{n} - \frac{x}{l} \right )^{2} } \right ) = \frac{kQq}{l^{2} } \frac{n - 2 \sqrt{n} \frac{x}{l} + \frac{x^{2} }{l^{2} } - n - 2n \frac{x}{l} - n \frac{x^{2} }{l^{2} } }{ \left ( 1 + \frac{x}{l} \right )^{2} \left ( \sqrt{n} - \frac{x}{l} \right )^{2} } = \frac{kQq}{nl^{2} } \frac{2x}{l} ( - \sqrt{n} - n )$
(мы пренебрегаем слагаемыми вида $\frac{x^{2}}{l^{2}}$ по сравнению с величинами $\frac{x}{l}$). Видно, что
$F \sim \frac{1}{l^{3} }$, т.е. $\omega^{2} \sim \frac{1}{l^{3} }$, или $T = \frac{2 \pi}{ \omega } \sim l^{3/2}$.
Значит, период колебаний станет меньше в $2 \sqrt{2}$ раз.
На горизонтально расположенном непроводящем стержне закреплены два маленьких тела, заряженных положительно (заряды нам неизвестны). Еще одно положительно заряженное тело - маленькая бусинка - может двигаться без трения вдоль стержня. Бусинка совершает малые колебания около положения равновесия. Во сколько раз изменится период таких колебаний, если расстояние между неподвижными зарядами уменьшится вдвое (разумеется, их для этого придется сделать на некоторое время подвижными)?
Решение:
Пусть один из неподвижных зарядов равен $Q$ и расстояние от него до равновесного положения бусинки с зарядом $q$ составляет $l$. Тогда для второго заряда, равного $nQ$, это расстояние составит $l \sqrt{n}$. Сместим теперь заряд $q$ вдоль прямой на очень малое расстояние $x$ в сторону заряда $nQ$. Тогда сила, действующая на бусинку, будет равна
$F = k \frac{Qq}{(l + x)^{2} } - k \frac{nQq}{( \sqrt{n}l - x )^{2} } = \frac{kQq}{l^{2} } \left ( \frac{1}{ \left ( 1 + \frac{x}{l} \right )^[2 } - \frac{n}{ \left ( \sqrt{n} - \frac{x}{l} \right )^{2} } \right ) = \frac{kQq}{l^{2} } \frac{n - 2 \sqrt{n} \frac{x}{l} + \frac{x^{2} }{l^{2} } - n - 2n \frac{x}{l} - n \frac{x^{2} }{l^{2} } }{ \left ( 1 + \frac{x}{l} \right )^{2} \left ( \sqrt{n} - \frac{x}{l} \right )^{2} } = \frac{kQq}{nl^{2} } \frac{2x}{l} ( - \sqrt{n} - n )$
(мы пренебрегаем слагаемыми вида $\frac{x^{2}}{l^{2}}$ по сравнению с величинами $\frac{x}{l}$). Видно, что
$F \sim \frac{1}{l^{3} }$, т.е. $\omega^{2} \sim \frac{1}{l^{3} }$, или $T = \frac{2 \pi}{ \omega } \sim l^{3/2}$.
Значит, период колебаний станет меньше в $2 \sqrt{2}$ раз.
