Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13220
2020-02-16 
На тонком и легком жестком стержне длиной $L$ закреплены два тела - массой $M$ посредине стержня и массой $2M$ на одном из его концов. Другой конец стержня закреплен шарнирно. Получившийся маятник раскачивается в вертикальной плоскости, максимальный угол отклонения от вертикали составляет $1^{ \circ}$. Найдите период колебаний этого маятника и максимальную разность натяжений половин стержня при движении.
Решение:
Для нахождения периода колебаний значение максимального угла отклонения нас интересовать не должно - лишь бы этот угол был малым. Найдем связь между максимальным значением угла отклонения $\alpha_{m}$ и максимальным значением угловой скорости стержня $\frac{v_{m} }{L}$ (тут $v_{m}$ - максимальная скорость нижнего груза массой $2M$) из закона сохранения энергии:
$2Mg (L - L \cos \alpha_{m} ) + Mg (0,5L - 0,5L \cos \alpha_{m}) = \frac{2Mv_{m}^{2} }{2} + \frac{M( 0,5v_{m} )^{2} }{2}$, откуда $v_{m} = \alpha_{m} \sqrt{ \frac{10}{9} gL }$.
Для гармонических колебаний с периодом $T$ эта связь записывается так:
$\frac{v_{m}}{L} = \alpha_{m} \frac{2 \pi}{T}$, откуда $T = \sqrt{ \frac{18 \pi^{2}L }{5g} }$.
Максимальная разность силы натяжения верхней половины стержня $T_{1}$ и силы натяжения нижней половины $T_{2}$ легко находится из уравнения движения тела массой $M$ в тот момент, когда стержень проходит вертикальное положение:
$T_{1} - T_{2} = Mg + \frac{M(0,5v_{m} )^{2} }{0,5L} = Mg \left ( 1 + \frac{5}{9} \alpha_{m}^{2} \right ) = Mg \left ( 1 + \frac{5}{9} \left ( \frac{ \pi}{180} \right )^{2} \right ) \approx Mg (1 + 1,7 \cdot 10^{-4} )$.
На тонком и легком жестком стержне длиной $L$ закреплены два тела - массой $M$ посредине стержня и массой $2M$ на одном из его концов. Другой конец стержня закреплен шарнирно. Получившийся маятник раскачивается в вертикальной плоскости, максимальный угол отклонения от вертикали составляет $1^{ \circ}$. Найдите период колебаний этого маятника и максимальную разность натяжений половин стержня при движении.
Решение:
Для нахождения периода колебаний значение максимального угла отклонения нас интересовать не должно - лишь бы этот угол был малым. Найдем связь между максимальным значением угла отклонения $\alpha_{m}$ и максимальным значением угловой скорости стержня $\frac{v_{m} }{L}$ (тут $v_{m}$ - максимальная скорость нижнего груза массой $2M$) из закона сохранения энергии:
$2Mg (L - L \cos \alpha_{m} ) + Mg (0,5L - 0,5L \cos \alpha_{m}) = \frac{2Mv_{m}^{2} }{2} + \frac{M( 0,5v_{m} )^{2} }{2}$, откуда $v_{m} = \alpha_{m} \sqrt{ \frac{10}{9} gL }$.
Для гармонических колебаний с периодом $T$ эта связь записывается так:
$\frac{v_{m}}{L} = \alpha_{m} \frac{2 \pi}{T}$, откуда $T = \sqrt{ \frac{18 \pi^{2}L }{5g} }$.
Максимальная разность силы натяжения верхней половины стержня $T_{1}$ и силы натяжения нижней половины $T_{2}$ легко находится из уравнения движения тела массой $M$ в тот момент, когда стержень проходит вертикальное положение:
$T_{1} - T_{2} = Mg + \frac{M(0,5v_{m} )^{2} }{0,5L} = Mg \left ( 1 + \frac{5}{9} \alpha_{m}^{2} \right ) = Mg \left ( 1 + \frac{5}{9} \left ( \frac{ \pi}{180} \right )^{2} \right ) \approx Mg (1 + 1,7 \cdot 10^{-4} )$.
