ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2016-10-21   
Два плоских зеркала образуют двугранный угол. Точечный источник света находится внутри этого угла и равноудалён от зеркал. При каких значениях угла $\alpha$ между зеркалами у источника будет ровно $N = 100$ различных изображений?


Решение:



Все изображения лежат на окружности с центром на ребре двугранного угла, образованного зеркалами, и проходящей через источник света P (см. рис.). Пусть $\alpha$ — угол между зеркалами, $\Omega$ — заштрихованная область (не включая границы), $W$ — незаштрихованная область (включая границы). Совпадающие изображения будем считать, согласно условию, за одно изображение.

Изображения, лежащие под прямой АС, дают изображения в зеркале АО, которые лежат над прямой АС. Изображения, лежащие над прямой ВВ, дают изображения в зеркале ВО, которые лежат под прямой ВВ. Отсюда следует, что изображения, лежащие в области $W$ без границ, дают своё изображение; изображения, лежащие в $\Omega$, не дают своих изображений.

Обозначим через $\alpha$ угол, который образуют лучи, проведённые из точки О к двум соседним изображениям. Из рисунка видно, что в области $W$ лежит ровно

$2 \left [ \frac{ \angle POD}{ \alpha} \right ] = 2 \left [ \frac{ \pi - ( \alpha /2)}{ \alpha} \right ]$

изображений (квадратными скобками обозначена операция выделения целой части числа). При этом возможны три следующих случая.

1) В $\Omega$ не лежит ни одного изображения. Это имеет место тогда и только тогда, когда есть изображения, находящиеся на лучах ОD и ОС. Это условие эквивалентно тому, что $\frac{ \pi - ( \alpha /2)}{ \alpha}$ является положительным целым числом. Тогда общее число различных изображений будет равно

$N = 2 \cdot \frac{ \pi - ( \alpha /2)}{ \alpha}$.

Приравнивая в этом выражении $N = 100$, получаем:

$\alpha = \frac{2 \pi}{N+1} = \frac{2 \pi }{101}$.

2) В $\Omega$ лежит ровно одно изображение, находящееся на луче ОК. Это имеет место тогда и только тогда, когда $\frac{ \pi}{ \alpha}$ является целым положительным числом. При этом общее число изображений будет равно

$N = 2 \left [ \frac{ \pi - ( \alpha / 2)}{ \alpha} \right ] + 1$.

Это число не может быть равно 100 ни при каком $\alpha$, так как является нечётным, то есть второй случай не удовлетворяет условию задачи.

3) В $\Omega$ лежат ровно 2 изображения. Это имеет место тогда и только тогда, когда $\frac{ \pi - ( \alpha /2)}{ \alpha}$ и $\frac{ \pi }{ \alpha}$ не являются целыми положительными числами. Тогда общее число изображений будет равно

$N = 2 \left [ \frac{ \pi - ( \alpha /2)}{ \alpha} \right ] + 2$.

Приравнивая в этом выражении $N = 100$, получаем

$\left [ \frac{ \pi - ( \alpha /2)}{ \alpha} \right ] = \frac{N-2}{2} = 49$.

Это уравнение эквивалентно неравенству

$\frac{N-2}{2} = 49 \leq \frac{ \pi - ( \alpha /2)}{ \alpha} < 50 = \frac{N}{2}$,

откуда следует, что

$\frac{2 \pi}{N+1} = \frac{2 \pi}{101} < \alpha \leq \frac{2 \pi}{99} = \frac{2 \pi}{N-1}$.

Учтя указанные выше условия, при которых возможен третий случай, получаем, что угол $\alpha = 2 \pi /N = 2 \pi/100$ должен быть исключён из последнего неравенства.

Объединяя все случаи, получаем ответ:

$\frac{2 \pi}{101} < \alpha < \frac{2 \pi}{100}; \frac{2 \pi }{100} < \alpha \leq \frac{2 \pi}{99}$.