ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-02-16   
Найдите сопротивление между клеммами А и В цепи, изображенной на рисунке и состоящей из бесконечного числа одинаковых резисторов с сопротивлением R каждый.



Решение:



Ясно, что на большом удалении от клемм А и В данной цепи ток течет только по нижнему проводнику, а по верхней части ток не идет, и поэтому ее можно разорвать. Тогда изображенную на рисунке цепь можно представить как совокупность двух электрических цепей АС и СВ, соединенных последовательно (рис.). Сопротивление $R_{АВ}$ всей электрической цепи складывается из сопротивлений $R_{АС}$ и $R_{СВ}$ цепей АС и СВ, которые совпадают:

$R_{АС} = R_{CB} = R_{x}$.

Поэтому

$R_{АВ} = 2R_{x}$.



Теперь перерисуем цепь АС так, как изображено на рисунке. Поскольку эта цепь бесконечная и ее сопротивление не изменяется при добавлении еще одного звена в начале, представим ее соответственно рисунку. Тогда из законов последовательного и параллельного соединений проводников получим

$R_{x} = R + \frac{RR_{x} }{R + R_{x} }$,

или

$R_{x}^{2} + RR_{x} - R^{2} = 0$.

Решая это квадратное уравнение, находим

$R_{x} = R \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Отсюда окончательно получаем

$R_{АВ} = R(1 + \sqrt{5} )$.