Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13212
2020-02-16 
Параллельно включены, катушки с индуктивностями $L$ и $2L$ и резистор сопротивлением $R$. В данный момент токи через катушки одинаковы по величине, текут в одну сторону и составляют $I_{0}$ каждый. Какой полный заряд протечет через резистор за большое время, и сколько тепла выделится в резисторе? Указанные элементы цепи считать идеальными, никаких других элементов в цепи нет.
Решение:
Токи через катушки изменяются со временем так, что ЭДС индукции $\mathcal{E}$ в любой момент одинаковы. Отсюда следует, что изменения токов катушек связаны соотношением $\Delta I_{1} = 2 \Delta I_{2}$. Через резистор сопротивлением $R$ протекает ток (см. рисунок) $I = I_{1} + I_{2}$. Спустя очень большой интервал времени будет достигнуто условие $I_{1} + I_{2} = 0$. Тогда можно записать
$(I_{0} - I_{1}) = 2 (I_{0} - I_{2})$
и при $I_{1} = - I_{2}$ получим
$I_{1} = - \frac{1}{3}I_{0}, I_{2} = \frac{1}{3} I_{0}$,
т.е. ток через катушку индуктивностью $L$ изменит направление на противоположное.
Заряд, протекающий через резистор за малый интервал времени $\Delta t_{i}$, равен $\Delta q_{i} = \frac{ \mathcal{E}_{i} }{R} \Delta t_{i}$. Подставив значение $\mathcal{E}_{i} = - L \frac{ \Delta I_{1i} }{ \Delta t_{i} }$, получим
$\Delta q_{i} = - \frac{L}{R} \Delta I_{1i}$.
Суммарный заряд, прошедший через резистор, будет
$Q = \sum \Delta q_{i} = - \frac{L}{R} \sum \Delta I_{1i} = - \frac{L}{R} \left ( - \frac{1}{3}I_{0} - I_{0} \right ) = \frac{4}{3} \frac{LI_{0} }{R}$.
Количество теплоты $W_{т}$, выделившееся в резисторе, найдем из баланса начальной и конечной энергий:
$\frac{LI_{0}^{2} }{2} + \frac{2LI_{0}^{2} }{2} = \frac{L \left ( \frac{I_{0} }{3} \right )^{2} }{2} + \frac{2L \left ( \frac{I_{0} }{3} \right )^{2} }{2} + W_{т}$,
откуда
$W_{т} = \frac{4}{3} LI_{0}^{2}$.
Параллельно включены, катушки с индуктивностями $L$ и $2L$ и резистор сопротивлением $R$. В данный момент токи через катушки одинаковы по величине, текут в одну сторону и составляют $I_{0}$ каждый. Какой полный заряд протечет через резистор за большое время, и сколько тепла выделится в резисторе? Указанные элементы цепи считать идеальными, никаких других элементов в цепи нет.
Решение:
Токи через катушки изменяются со временем так, что ЭДС индукции $\mathcal{E}$ в любой момент одинаковы. Отсюда следует, что изменения токов катушек связаны соотношением $\Delta I_{1} = 2 \Delta I_{2}$. Через резистор сопротивлением $R$ протекает ток (см. рисунок) $I = I_{1} + I_{2}$. Спустя очень большой интервал времени будет достигнуто условие $I_{1} + I_{2} = 0$. Тогда можно записать
$(I_{0} - I_{1}) = 2 (I_{0} - I_{2})$
и при $I_{1} = - I_{2}$ получим
$I_{1} = - \frac{1}{3}I_{0}, I_{2} = \frac{1}{3} I_{0}$,
т.е. ток через катушку индуктивностью $L$ изменит направление на противоположное.
Заряд, протекающий через резистор за малый интервал времени $\Delta t_{i}$, равен $\Delta q_{i} = \frac{ \mathcal{E}_{i} }{R} \Delta t_{i}$. Подставив значение $\mathcal{E}_{i} = - L \frac{ \Delta I_{1i} }{ \Delta t_{i} }$, получим
$\Delta q_{i} = - \frac{L}{R} \Delta I_{1i}$.
Суммарный заряд, прошедший через резистор, будет
$Q = \sum \Delta q_{i} = - \frac{L}{R} \sum \Delta I_{1i} = - \frac{L}{R} \left ( - \frac{1}{3}I_{0} - I_{0} \right ) = \frac{4}{3} \frac{LI_{0} }{R}$.
Количество теплоты $W_{т}$, выделившееся в резисторе, найдем из баланса начальной и конечной энергий:
$\frac{LI_{0}^{2} }{2} + \frac{2LI_{0}^{2} }{2} = \frac{L \left ( \frac{I_{0} }{3} \right )^{2} }{2} + \frac{2L \left ( \frac{I_{0} }{3} \right )^{2} }{2} + W_{т}$,
откуда
$W_{т} = \frac{4}{3} LI_{0}^{2}$.
