Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13209
2020-02-16 
Закрепленная неподвижно непроводящая тонкостенная сфера массой $M$ равномерно заряжена по поверхности полным зарядом $Q$. Из нее вырезают маленький кусочек, масса которого равна 1/10000 массы сферы, сминают его в крошечный комочек, помещают в центр сферы (заряд кусочка при этом сохраняется) и отпускают. Какая скорость у него будет на большом расстоянии от сферы? А какую скорость он приобретет к моменту вылета из сферы? Силы тяжести отсутствуют.
Решение:
Комочек можно считать точечным зарядом $q = \frac{Q}{10000}$ с массой $m = \frac{M}{10000}$. Если комочек отпустить из центра без начальной скорости, он начнет ускоряться как раз в сторону дырки - поле "испорченной" сферы внутри уже не нулевое.
Проще всего найти скорость на бесконечности. Потенциал поля сферы, обозначим ее радиус $R$, в центре равен
$\phi = \frac{Q - q}{4 \pi \epsilon_{0}R }$,
а потенциал на бесконечности - нулевой. Тогда, согласно закону сохранения энергии,
$\frac{mv_{1}^{2}}{2} = q \phi$,
откуда находим скорость комочка на бесконечности:
$v_{1} = \sqrt{ \frac{2q \phi}{m}} = \frac{2 \cdot Q \cdot 10^{-4} \cdot Q}{4 \pi \epsilon_{0}R \cdot M \cdot 10^{-4} } = \sqrt{ \frac{Q^{2}}{2 \pi \epsilon_{0} RM }}$.
Сложнее оценить скорость к моменту вылета из сферы. Вернем назад (мысленно!) вырезанный кусочек поверхности с зарядом $q$ и одновременно добавим такой же кусочек с зарядом $-q$. Ясно, что силы, действующие на интересующий нас комочек, определяются его взаимодействием с добавленным кусочком с зарядом $-q$. Вдали этот кусочек напоминает точечный заряд $-q$, а при подлете к нему он становится похожим на бесконечную заряженную плоскость, создающую поле
$E_{1} = \frac{ \sigma }{2 \epsilon_{0} } = \frac{Q}{8 \pi \epsilon_{0}R^{2}}$.
На графике (см. рисунок) показаны поле точечного заряда и поле бесконечной плоскости в зависимости от расстояния $x$ до центра дырки. Будем считать взаимодействие на участке от $R$ до $x_{1}$ по первой из зависимостей, т.е. по модели точечного заряда, а на участке от $x_{1}$ до нуля - по модели бесконечной плоскости. Вначале найдем "точку пересечения" $x_{1}$:
$\frac{Q \cdot 10^{-4}}{4 \pi \epsilon_{0}x_{1}^{2} } = \frac{Q}{ 8 \pi \epsilon_{0} R^{2}}$,
откуда
$x_{1} = 0,014R$.
Кинетическая энергия комочка определяется работой электростатических сил:
$\frac{mv_{2}^{2}}{2} = q ( \Delta \phi_{1} + \Delta \phi_{2}) = q \left ( \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}x_{1} } - \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}R } + E_{1}x_{1} \right ) \approx \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}x_{1} } + \frac{qQx_{1} }{8 \pi \epsilon_{0}R^{2} }$.
Отсюда получаем скорость комочка на вылете из сферы:
$v_{2} \approx \sqrt{ \frac{Q^{2}}{2 \pi \epsilon_{0} RM } \cdot 7 \cdot 10^{-3}} \approx \frac{v_{1} }{12}$.
Видно, что комочек серьезно набирает скорость только после вылета из сферы.
И еще - важно, что сфера непроводящая, иначе пришлось бы учитывать перераспределение зарядов при подлете комочка к поверхности сферы. Впрочем, наличие дырки в этом месте очень способствует уменьшению этого эффекта.
Закрепленная неподвижно непроводящая тонкостенная сфера массой $M$ равномерно заряжена по поверхности полным зарядом $Q$. Из нее вырезают маленький кусочек, масса которого равна 1/10000 массы сферы, сминают его в крошечный комочек, помещают в центр сферы (заряд кусочка при этом сохраняется) и отпускают. Какая скорость у него будет на большом расстоянии от сферы? А какую скорость он приобретет к моменту вылета из сферы? Силы тяжести отсутствуют.
Решение:
Комочек можно считать точечным зарядом $q = \frac{Q}{10000}$ с массой $m = \frac{M}{10000}$. Если комочек отпустить из центра без начальной скорости, он начнет ускоряться как раз в сторону дырки - поле "испорченной" сферы внутри уже не нулевое.
Проще всего найти скорость на бесконечности. Потенциал поля сферы, обозначим ее радиус $R$, в центре равен
$\phi = \frac{Q - q}{4 \pi \epsilon_{0}R }$,
а потенциал на бесконечности - нулевой. Тогда, согласно закону сохранения энергии,
$\frac{mv_{1}^{2}}{2} = q \phi$,
откуда находим скорость комочка на бесконечности:
$v_{1} = \sqrt{ \frac{2q \phi}{m}} = \frac{2 \cdot Q \cdot 10^{-4} \cdot Q}{4 \pi \epsilon_{0}R \cdot M \cdot 10^{-4} } = \sqrt{ \frac{Q^{2}}{2 \pi \epsilon_{0} RM }}$.
Сложнее оценить скорость к моменту вылета из сферы. Вернем назад (мысленно!) вырезанный кусочек поверхности с зарядом $q$ и одновременно добавим такой же кусочек с зарядом $-q$. Ясно, что силы, действующие на интересующий нас комочек, определяются его взаимодействием с добавленным кусочком с зарядом $-q$. Вдали этот кусочек напоминает точечный заряд $-q$, а при подлете к нему он становится похожим на бесконечную заряженную плоскость, создающую поле
$E_{1} = \frac{ \sigma }{2 \epsilon_{0} } = \frac{Q}{8 \pi \epsilon_{0}R^{2}}$.
На графике (см. рисунок) показаны поле точечного заряда и поле бесконечной плоскости в зависимости от расстояния $x$ до центра дырки. Будем считать взаимодействие на участке от $R$ до $x_{1}$ по первой из зависимостей, т.е. по модели точечного заряда, а на участке от $x_{1}$ до нуля - по модели бесконечной плоскости. Вначале найдем "точку пересечения" $x_{1}$:
$\frac{Q \cdot 10^{-4}}{4 \pi \epsilon_{0}x_{1}^{2} } = \frac{Q}{ 8 \pi \epsilon_{0} R^{2}}$,
откуда
$x_{1} = 0,014R$.
Кинетическая энергия комочка определяется работой электростатических сил:
$\frac{mv_{2}^{2}}{2} = q ( \Delta \phi_{1} + \Delta \phi_{2}) = q \left ( \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}x_{1} } - \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}R } + E_{1}x_{1} \right ) \approx \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}x_{1} } + \frac{qQx_{1} }{8 \pi \epsilon_{0}R^{2} }$.
Отсюда получаем скорость комочка на вылете из сферы:
$v_{2} \approx \sqrt{ \frac{Q^{2}}{2 \pi \epsilon_{0} RM } \cdot 7 \cdot 10^{-3}} \approx \frac{v_{1} }{12}$.
Видно, что комочек серьезно набирает скорость только после вылета из сферы.
И еще - важно, что сфера непроводящая, иначе пришлось бы учитывать перераспределение зарядов при подлете комочка к поверхности сферы. Впрочем, наличие дырки в этом месте очень способствует уменьшению этого эффекта.
