Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1320
2016-10-21 
Вы смотрите с расстояния $L = 2 м$ на своё отражение в ёлочном шарике диаметром $D = 10 см$. На каком расстоянии от вас должен стоять ваш двойник, чтобы вы видели его таким же маленьким, как ваше изображение в шарике?
Решение:
Пусть рост отражающегося человека равен $H \sim 2 м$, а размер его изображения $h (h \ll H)$. Для простоты рассуждений будем считать, что центр ёлочного шарика расположен на уровне половины роста человека. На рисунке приведён ход лучей, формирующих изображение.
Так как $D \ll L$, то угол $\phi$ между лучами, формирующими изображения головы и ног человека, очень мал (изображение головы лежит на пересечении продолжений лучей 1 и 3, а ног — 2 и 4). Поэтому углы $\alpha$ и $beta$ примерно одинаковы, а это означает, что изображение человека расположено на расстоянии $\approx D/4$ от центра шарика. Из подобия треугольников следует отношение:
$\frac{H/2}{L} = \frac{h/2}{D/4}$, откуда $h = \frac{HD}{4L}$.
Так как и $D \ll L$, то расстояние от человека до изображения примерно равно $L$. Поэтому угловой размер изображения человека в шарике
$\phi \approx \frac{h \cos \alpha}{L / \cos \alpha} = \frac{HD}{4L^{2}} \cos^{2} \alpha = \frac{}{} \left ( \frac{L}{ \sqrt{L^{2} + (H/2)^{2}}} \right )^{2} = \frac{HD}{4L^{2}+H^{2}}$.
Для того, чтобы человек видел своего двойника таким же маленьким, то есть под тем же углом, двойник должен стоять на таком расстоянии $x$ от человека, чтобы выполнялось соотношение: $\phi \cdot x \approx H$. Отсюда
$x \approx \frac{H}{ \phi} = \frac{4L^{2} + H^{2}}{D} = 200 м$.
Вы смотрите с расстояния $L = 2 м$ на своё отражение в ёлочном шарике диаметром $D = 10 см$. На каком расстоянии от вас должен стоять ваш двойник, чтобы вы видели его таким же маленьким, как ваше изображение в шарике?
Решение:
Пусть рост отражающегося человека равен $H \sim 2 м$, а размер его изображения $h (h \ll H)$. Для простоты рассуждений будем считать, что центр ёлочного шарика расположен на уровне половины роста человека. На рисунке приведён ход лучей, формирующих изображение.
Так как $D \ll L$, то угол $\phi$ между лучами, формирующими изображения головы и ног человека, очень мал (изображение головы лежит на пересечении продолжений лучей 1 и 3, а ног — 2 и 4). Поэтому углы $\alpha$ и $beta$ примерно одинаковы, а это означает, что изображение человека расположено на расстоянии $\approx D/4$ от центра шарика. Из подобия треугольников следует отношение:
$\frac{H/2}{L} = \frac{h/2}{D/4}$, откуда $h = \frac{HD}{4L}$.
Так как и $D \ll L$, то расстояние от человека до изображения примерно равно $L$. Поэтому угловой размер изображения человека в шарике
$\phi \approx \frac{h \cos \alpha}{L / \cos \alpha} = \frac{HD}{4L^{2}} \cos^{2} \alpha = \frac{}{} \left ( \frac{L}{ \sqrt{L^{2} + (H/2)^{2}}} \right )^{2} = \frac{HD}{4L^{2}+H^{2}}$.
Для того, чтобы человек видел своего двойника таким же маленьким, то есть под тем же углом, двойник должен стоять на таком расстоянии $x$ от человека, чтобы выполнялось соотношение: $\phi \cdot x \approx H$. Отсюда
$x \approx \frac{H}{ \phi} = \frac{4L^{2} + H^{2}}{D} = 200 м$.
