Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1319
2016-10-21 
Если посмотреть на снег в солнечный зимний день, то можно увидеть, что снег «искрится». Считая, что поверхность снега состоит из хаотически расположенных плоских кристалликов со средним размером грани $d = 1 мм$, оцените среднее расстояние $D$ между соседними блёстками. Как изменится $D$, если смотреть, закрыв один глаз? Угловой диаметр Солнца $\phi = 0,5^{ \circ}$.
Решение:
Будем считать, что среднее расстояние между центрами граней соседних кристаллов снега $l \sim d$. На каждый из кристаллов падает свет Солнца в пределах угла $\phi = 0,5^{ \circ} \approx 0,01 рад$. При этом кристалл отражает свет одной из своих граней в телесный угол $\omega \sim \pi \phi^{2}/4$. Так как кристаллы расположены на поверхности хаотически, то отражённый пучок может быть направлен произвольно в пределах телесного угла $\Omega = 4 \pi$, то есть в один глаз попадает свет, отражённый от одной из $N_{1} = \Omega/ \omega \sim 16/ \phi^{2} = 16 \cdot 10^{4}$ граней. Если же смотреть на снег двумя глазами, то хотя бы в один из них попадёт свет, отражённый от одной из $N_{2} = N_{1}/2 = 8 \cdot 10^{4}$ граней.
Для оценки расстояния между соседними кристаллами, свет от которых попадает в один глаз, будем считать, что все $N_{1}$ отражающих граней равномерно распределены по поверхности. Тогда на единицу длины на этой поверхности приходится $n_{1} \sim \sqrt{N_{1}}$ отражающих граней, а среднее расстояние между гранями, отражающими свет в нужном направлении, составляет $D_{1} \sim ln_{1} \sim d \sqrt{ N_{1}} \sim 4d/ \phi \approx 40 см$. Аналогично для случая, когда на снег смотрят двумя глазами, $D_{2} \sim d \sqrt{ N_{2}} \sim 2 \sqrt{2}d/ \phi \sim 28 см$. Полученные результаты являются, конечно, довольно грубыми оценками.
Интересно ответить ещё на один вопрос: на какое расстояние нужно переместить голову для того, чтобы одна блёстка, которую видит глаз, исчезла, а вместо неё появилась другая, в другом месте? Очевидно, что это расстояние определяется диаметром светового пятна, получающегося вблизи глаза при отражении света Солнца от снежинки. Если мы смотрим на снег стоя с расстояния $L \sim 2 м$, то диаметр этого пятна примерно равен $L \phi 2 см$, что примерно в 10 раз больше диаметра зрачка глаза, так что оценка искомого расстояния как раз и составляет около 2 см.
Если посмотреть на снег в солнечный зимний день, то можно увидеть, что снег «искрится». Считая, что поверхность снега состоит из хаотически расположенных плоских кристалликов со средним размером грани $d = 1 мм$, оцените среднее расстояние $D$ между соседними блёстками. Как изменится $D$, если смотреть, закрыв один глаз? Угловой диаметр Солнца $\phi = 0,5^{ \circ}$.
Решение:
Будем считать, что среднее расстояние между центрами граней соседних кристаллов снега $l \sim d$. На каждый из кристаллов падает свет Солнца в пределах угла $\phi = 0,5^{ \circ} \approx 0,01 рад$. При этом кристалл отражает свет одной из своих граней в телесный угол $\omega \sim \pi \phi^{2}/4$. Так как кристаллы расположены на поверхности хаотически, то отражённый пучок может быть направлен произвольно в пределах телесного угла $\Omega = 4 \pi$, то есть в один глаз попадает свет, отражённый от одной из $N_{1} = \Omega/ \omega \sim 16/ \phi^{2} = 16 \cdot 10^{4}$ граней. Если же смотреть на снег двумя глазами, то хотя бы в один из них попадёт свет, отражённый от одной из $N_{2} = N_{1}/2 = 8 \cdot 10^{4}$ граней.
Для оценки расстояния между соседними кристаллами, свет от которых попадает в один глаз, будем считать, что все $N_{1}$ отражающих граней равномерно распределены по поверхности. Тогда на единицу длины на этой поверхности приходится $n_{1} \sim \sqrt{N_{1}}$ отражающих граней, а среднее расстояние между гранями, отражающими свет в нужном направлении, составляет $D_{1} \sim ln_{1} \sim d \sqrt{ N_{1}} \sim 4d/ \phi \approx 40 см$. Аналогично для случая, когда на снег смотрят двумя глазами, $D_{2} \sim d \sqrt{ N_{2}} \sim 2 \sqrt{2}d/ \phi \sim 28 см$. Полученные результаты являются, конечно, довольно грубыми оценками.
Интересно ответить ещё на один вопрос: на какое расстояние нужно переместить голову для того, чтобы одна блёстка, которую видит глаз, исчезла, а вместо неё появилась другая, в другом месте? Очевидно, что это расстояние определяется диаметром светового пятна, получающегося вблизи глаза при отражении света Солнца от снежинки. Если мы смотрим на снег стоя с расстояния $L \sim 2 м$, то диаметр этого пятна примерно равен $L \phi 2 см$, что примерно в 10 раз больше диаметра зрачка глаза, так что оценка искомого расстояния как раз и составляет около 2 см.
