Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1317
2016-10-21 
На каком расстоянии от въезда на станцию метро находится поезд, когда пассажир, стоящий на краю платформы около конца тоннеля, начинает видеть блик от света фар на рельсах? Перед въездом на станцию расположен достаточно длинный поворот с радиусом закругления $R$. Считайте, что тоннель горизонтален, а его сечение — прямоугольник шириной $l \ll R$, расстояние между рельсами $h \ll R$, фары поезда расположены точно над рельсами, профиль рельса изображен на рисунке.
Решение:
рис.1
рис.2
Прежде всего заметим, что луч, который видит пассажир, отражается от верхней части рельса, которая имеет округлую форму. Поэтому при большом радиусе закругления рельсов (и, следовательно, при малых углах падения и отражения луча) можно пренебречь тем, что глаза пассажира и фары метропоезда находятся на разной высоте над уровнем рельсов, и считать, что фары, глаз пассажира и точка рельса, от которой отражается свет, лежат в практически горизонтальной плоскости. Далее, необходимо рассмотреть два случая: когда тоннель закругляется в сторону платформы, на которой стоит пассажир, и когда тоннель закругляется в противоположную от пассажира сторону.
Рассмотрим сначала первый случай. Из рисунка 1 видно, что прежде всего пассажир увидит луч от правой фары, отражённый правым рельсом. Отрезки, проведённые из центра кривизны пути (точка О) к фаре (точка F), пассажиру (точка Р), точке (К) отражения света от рельса и точке, в которой луч касается стенки тоннеля (S), составляют друг с другом равные углы $\alpha$. Из треугольника ОPК можно приближённо найти расстояние от внутренней стенки тоннеля до внешнего рельса:
$\frac{l}{2} + \frac{h}{2} \approx R(1- \cos \alpha) \approx \frac{R \alpha^{2}}{2}$.
Отсюда $\alpha \approx \sqrt{ \frac{l+h}{R}}$, а искомое расстояние:
$L \approx 3 \alpha R \approx 3 \sqrt{R(l+h)}$.
Рассмотрим второй случай (см. рис. 2). Он отличается от первого тем, что луч касается стенок тоннеля дважды — в точках $S$ и $S_{1}$. Отрезки $OF, OS_{1}, OK$ и $OS$ по-прежнему образуют между собой одинаковые углы $\alpha$, совпадающие с углом, найденным в предыдущем случае. Отрезок же $OP$ составляет с отрезком $OS$ некоторый угол $\beta$, который можно оценить из треугольника $OPS$ при помощи следующего соотношения:
$l \approx R(1 - \cos \beta) \approx \frac{R \beta^{2}}{2}$.
Отсюда $\beta \approx \sqrt{ \frac{2l}{R}}$, и искомое расстояние:
$L \approx R (3 \alpha + \beta) \approx (3 \sqrt{l+h} + \sqrt{2l}) \sqrt{R}$.
На каком расстоянии от въезда на станцию метро находится поезд, когда пассажир, стоящий на краю платформы около конца тоннеля, начинает видеть блик от света фар на рельсах? Перед въездом на станцию расположен достаточно длинный поворот с радиусом закругления $R$. Считайте, что тоннель горизонтален, а его сечение — прямоугольник шириной $l \ll R$, расстояние между рельсами $h \ll R$, фары поезда расположены точно над рельсами, профиль рельса изображен на рисунке.
Решение:
рис.1
рис.2
Прежде всего заметим, что луч, который видит пассажир, отражается от верхней части рельса, которая имеет округлую форму. Поэтому при большом радиусе закругления рельсов (и, следовательно, при малых углах падения и отражения луча) можно пренебречь тем, что глаза пассажира и фары метропоезда находятся на разной высоте над уровнем рельсов, и считать, что фары, глаз пассажира и точка рельса, от которой отражается свет, лежат в практически горизонтальной плоскости. Далее, необходимо рассмотреть два случая: когда тоннель закругляется в сторону платформы, на которой стоит пассажир, и когда тоннель закругляется в противоположную от пассажира сторону.
Рассмотрим сначала первый случай. Из рисунка 1 видно, что прежде всего пассажир увидит луч от правой фары, отражённый правым рельсом. Отрезки, проведённые из центра кривизны пути (точка О) к фаре (точка F), пассажиру (точка Р), точке (К) отражения света от рельса и точке, в которой луч касается стенки тоннеля (S), составляют друг с другом равные углы $\alpha$. Из треугольника ОPК можно приближённо найти расстояние от внутренней стенки тоннеля до внешнего рельса:
$\frac{l}{2} + \frac{h}{2} \approx R(1- \cos \alpha) \approx \frac{R \alpha^{2}}{2}$.
Отсюда $\alpha \approx \sqrt{ \frac{l+h}{R}}$, а искомое расстояние:
$L \approx 3 \alpha R \approx 3 \sqrt{R(l+h)}$.
Рассмотрим второй случай (см. рис. 2). Он отличается от первого тем, что луч касается стенок тоннеля дважды — в точках $S$ и $S_{1}$. Отрезки $OF, OS_{1}, OK$ и $OS$ по-прежнему образуют между собой одинаковые углы $\alpha$, совпадающие с углом, найденным в предыдущем случае. Отрезок же $OP$ составляет с отрезком $OS$ некоторый угол $\beta$, который можно оценить из треугольника $OPS$ при помощи следующего соотношения:
$l \approx R(1 - \cos \beta) \approx \frac{R \beta^{2}}{2}$.
Отсюда $\beta \approx \sqrt{ \frac{2l}{R}}$, и искомое расстояние:
$L \approx R (3 \alpha + \beta) \approx (3 \sqrt{l+h} + \sqrt{2l}) \sqrt{R}$.
