2016-10-21
Не дождавшись автобуса, пешеход пошёл пешком к следующей автобусной остановке, павильон которой был виден вдали. Через некоторое время он обнаружил, что кажущаяся высота этого павильона в $k = 1,5$ раза меньше кажущейся высоты павильона, от которого он отошёл. Пройдя ещё $L = 100 метров$, пешеход заметил, что, наоборот, павильон впереди кажется ему в $k = 1,5$ раза выше павильона позади. Найдите расстояние между остановками. Считайте, что кажущийся размер предмета обратно пропорционален расстоянию до него. Остановочные павильоны одинаковы, пешеход идёт по соединяющей их прямой.
Решение:
Для решения задачи сделаем чертёж (см. рис.). Обозначим на нём буквами А и В начальную и конечную автобусные остановки, буквой С — точку, откуда остановочный павильон В казался пешеходу в $k = 1,5$ раза ниже павильона А, буквой D — точку, откуда остановочный павильон А казался пешеходу в $k = 1,5$ раза ниже павильона В. Поскольку видимый размер павильона обратно пропорционален расстоянию до него, то справедливы следующие пропорции:
$\frac{AC}{CD+DB} = \frac{1}{k}, \frac{DB}{AC+CD} = \frac{1}{k}$.
Из них получаем:
$\frac{AC}{AC+CD+DB} = \frac{1}{k+1} = \frac{AC}{AB}, \frac{DB}{AC+CD+DB} = \frac{1}{k+1} = \frac{DB}{AB}$.
С другой стороны, $CD = AB — AC — DB$, откуда
$\frac{CD}{AB} = 1 - \frac{AC}{AB} - \frac{DB}{AB} = 1 - \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+1} = \frac{k-1}{k+1}$.
Отсюда, учитывая, что $CD = L$, получаем:
$AB = \frac{k+1}{k-1} L = 500 м$.