Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1312
2016-10-21 
На вращающейся карусели, имеющей радиус $R = 5 метров$, катается гармонист. При какой максимальной угловой скорости $\omega$ вращения карусели музыка, исполняемая гармонистом, не звучит фальшиво для слушателей, находящихся на земле, если хороший слух позволяет различить высоту звуков в четверть тона? Два звука отличаются на четверть тона, когда отношение их частот равно$\sqrt[24]{2} \approx 1,0293$. Скорость звука в воздухе в условиях опыта считать равной
$c = 346 м/с$.
Решение:
Музыка может звучать фальшиво, если вследствие приближения или удаления от зрителя звучащей гармони частота звука при нажатии одной и той же клавиши изменяется больше, чем в $a = \sqrt[24]{2}$ раз. Изменение частоты связано с эффектом Допплера. Прежде, чем приступать к решению задачи, рассмотрим подробнее происхождение этого эффекта.
Пусть источник звука, испускающий волны с частотой $v_{0} = 1/T_{0}$, где $T_{0}$ — период колебаний источника, движется по направлению к приёмнику с постоянной скоростью $v$. Представим, что за время $t = NT_{0}$ испускается цуг, состоящий из $N$ длин волн. Если скорость звука составляет $c$, то через время $t$, когда первая волна пройдёт расстояние $ct$, последняя волна еще только успеет выйти из источника, а сам источник пройдёт расстояние $vt$. Значит, расстояние между началом и концом цуга через время $t$ будет составлять $(c — v)t$, и на этом расстоянии будет укладываться $N$ длин волн. Значит, длина волны,
излучаемой движущимся источником, равна
$\lambda = \frac{(c-v)t}{N} = (c-v)T_{0}$,
а соответствующая ей частота, регистрируемая неподвижным приемником,
$\nu = \frac{c}{ \lambda} = \frac{c}{(c-v)T_{0}} = \nu_{0} \frac{c}{c-v}$.
Это и есть формула, описывающая эффект Допплера. Если источник удаляется от приёмника, то перед скоростью источника у в данной формуле, очевидно, должен стоять знак «плюс». Отметим ещё раз, что эффект Допплера связан с изменением длины волны, испускаемой движущимся источником, а не с изменением скорости звука, которая зависит только от свойств среды.
Итак, мы выяснили, что приближение гармони к зрителю при вращении карусели приводит к повышению частоты звука, а удаление гармони — к понижению. В нашем случае изменение частоты максимально тогда, когда слушатель находится в одной плоскости с каруселью, а скорость гармониста, равная по величине $\omega R$, направлена вдоль линии слушатель — гармонист (см. рис.). Отношение повышенной частоты звука к номинальной $\nu_{0}$ или номинальной частоты к пониженной частоте не должно превышать $a = \sqrt[24]{2}$. Поскольку, очевидно, $\omega R \ll c$, где $\omega$ — угловая скорость вращения карусели, то, используя приближённую формулу $(1 + x)^{n} \approx 1 + nx$, в первом случае получаем
$\frac{ \nu}{ \nu_{0}} = \frac{c}{c- \omega R} \approx 1 + \frac{ \omega R}{c} < a$,
а во втором случае
$\frac{ \nu}{ \nu_{0}} = \frac{c+ \omega R}{c} = 1 + \frac{ \omega R}{c} < a$,
то есть то же самое условие. Выражая из полученного соотношения угловую скорость $\omega$, находим:
$\omega < \frac{c}{R}(a-1) \approx 2 рад/с$.
Заметим, что и первое, и второе неравенства могут быть решены непосредственно, без использования приближённой формулы. При этом получаются два значения частоты:
$\omega < \omega_{1} = \frac{c}{R} \cdot \frac{a-1}{a} \approx 1,9698 рад/с$ — в первом случае,
$\omega < \omega_{2} = \frac{c}{R} (a-1) \approx 2,0276 рад/с$ — во втором случае.
Однако, частота $\omega_{1}$ отличается от частоты $\omega_{2}$ настолько незначительно, что смещение частоты, вызванное таким изменением угловой скорости, значительно меньше четверти тона и не может быть обнаружено на слух. Поэтому физически более правильно объединять случаи приближения и удаления гармониста и давать один приближённый ответ.
Отметим, что реальная угловая скорость вращения карусели, конечно, значительно меньше 2 рад/с, поскольку при такой угловой скорости центростремительное ускорение гармониста равнялось бы $\omega^{2} R = 20 м/с^{2} \approx 2g$.
На вращающейся карусели, имеющей радиус $R = 5 метров$, катается гармонист. При какой максимальной угловой скорости $\omega$ вращения карусели музыка, исполняемая гармонистом, не звучит фальшиво для слушателей, находящихся на земле, если хороший слух позволяет различить высоту звуков в четверть тона? Два звука отличаются на четверть тона, когда отношение их частот равно$\sqrt[24]{2} \approx 1,0293$. Скорость звука в воздухе в условиях опыта считать равной
$c = 346 м/с$.
Решение:
Музыка может звучать фальшиво, если вследствие приближения или удаления от зрителя звучащей гармони частота звука при нажатии одной и той же клавиши изменяется больше, чем в $a = \sqrt[24]{2}$ раз. Изменение частоты связано с эффектом Допплера. Прежде, чем приступать к решению задачи, рассмотрим подробнее происхождение этого эффекта.
Пусть источник звука, испускающий волны с частотой $v_{0} = 1/T_{0}$, где $T_{0}$ — период колебаний источника, движется по направлению к приёмнику с постоянной скоростью $v$. Представим, что за время $t = NT_{0}$ испускается цуг, состоящий из $N$ длин волн. Если скорость звука составляет $c$, то через время $t$, когда первая волна пройдёт расстояние $ct$, последняя волна еще только успеет выйти из источника, а сам источник пройдёт расстояние $vt$. Значит, расстояние между началом и концом цуга через время $t$ будет составлять $(c — v)t$, и на этом расстоянии будет укладываться $N$ длин волн. Значит, длина волны,
излучаемой движущимся источником, равна
$\lambda = \frac{(c-v)t}{N} = (c-v)T_{0}$,
а соответствующая ей частота, регистрируемая неподвижным приемником,
$\nu = \frac{c}{ \lambda} = \frac{c}{(c-v)T_{0}} = \nu_{0} \frac{c}{c-v}$.
Это и есть формула, описывающая эффект Допплера. Если источник удаляется от приёмника, то перед скоростью источника у в данной формуле, очевидно, должен стоять знак «плюс». Отметим ещё раз, что эффект Допплера связан с изменением длины волны, испускаемой движущимся источником, а не с изменением скорости звука, которая зависит только от свойств среды.
Итак, мы выяснили, что приближение гармони к зрителю при вращении карусели приводит к повышению частоты звука, а удаление гармони — к понижению. В нашем случае изменение частоты максимально тогда, когда слушатель находится в одной плоскости с каруселью, а скорость гармониста, равная по величине $\omega R$, направлена вдоль линии слушатель — гармонист (см. рис.). Отношение повышенной частоты звука к номинальной $\nu_{0}$ или номинальной частоты к пониженной частоте не должно превышать $a = \sqrt[24]{2}$. Поскольку, очевидно, $\omega R \ll c$, где $\omega$ — угловая скорость вращения карусели, то, используя приближённую формулу $(1 + x)^{n} \approx 1 + nx$, в первом случае получаем
$\frac{ \nu}{ \nu_{0}} = \frac{c}{c- \omega R} \approx 1 + \frac{ \omega R}{c} < a$,
а во втором случае
$\frac{ \nu}{ \nu_{0}} = \frac{c+ \omega R}{c} = 1 + \frac{ \omega R}{c} < a$,
то есть то же самое условие. Выражая из полученного соотношения угловую скорость $\omega$, находим:
$\omega < \frac{c}{R}(a-1) \approx 2 рад/с$.
Заметим, что и первое, и второе неравенства могут быть решены непосредственно, без использования приближённой формулы. При этом получаются два значения частоты:
$\omega < \omega_{1} = \frac{c}{R} \cdot \frac{a-1}{a} \approx 1,9698 рад/с$ — в первом случае,
$\omega < \omega_{2} = \frac{c}{R} (a-1) \approx 2,0276 рад/с$ — во втором случае.
Однако, частота $\omega_{1}$ отличается от частоты $\omega_{2}$ настолько незначительно, что смещение частоты, вызванное таким изменением угловой скорости, значительно меньше четверти тона и не может быть обнаружено на слух. Поэтому физически более правильно объединять случаи приближения и удаления гармониста и давать один приближённый ответ.
Отметим, что реальная угловая скорость вращения карусели, конечно, значительно меньше 2 рад/с, поскольку при такой угловой скорости центростремительное ускорение гармониста равнялось бы $\omega^{2} R = 20 м/с^{2} \approx 2g$.
