Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13112
2020-02-11 
Очень большое тело имеет массу $M$ и удельную теплоемкость $c$. Какую максимальную механическую работу можно получить при помощи очень маленькой тепловой машины, используя большое тело в качестве нагревателя? А можно ли получить еще больше? Сколько именно? Во всех случаях считать, что температура окружающей среды $T_{1}$ не меняется. Начальная температура тела $T_{2}$ выше температуры окружающей среды.
Решение:
При помощи очень маленькой тепловой машины можно переносить тепло маленькими порциями от нагревателя к холодильнику, получая при этом механическую работу. Тут все понятно, хотя расчет не слишком прост - коэффициент полезного действия по мере уменьшения температуры нагревателя все время уменьшается, при расчете это придется учитывать.
Обозначим количество теплоты, отнимаемое заданный цикл у нагревателя, через $q$. Это количество может изменяться от цикла к циклу - нас интересует цикл при текущей температуре нагревателя $T$. Тогда полезная работа за цикл - мы используем наилучший для этих условий цикл Карно - равна
$A = q \left ( 1 - \frac{T_{1} }{T} \right )$.
За этот цикл изменение температуры нагревателя составит
$\Delta T = - \frac{q}{cM}$.
Теперь выразим работу через изменение температуры нагревателя:
$A = - cM \Delta T \left ( 1 - \frac{T_{1} }{T} \right )$.
Это - маленькая величина, а общую работу найдем суммированием таких работ. Суммирование работ очень маленькой тепловой машины можно заменить интегрированием, причем пределы изменения температуры нагревателя будут равны $T_{2}$ и $T_{1}$:
$A_{о6щ} = \int_{T_{1}}^{T_{2} } - cM \left ( 1 - \frac{T_{1} }{T} \right ) dT = cM (T_{2} - T_{1}) - cMT_{1} ln \left ( \frac{T_{2} }{T_{1} } \right )$.
Но если не связываться с маленькой тепловой машиной, можно получить работу и побольше, причем существенно! Дело в том, что при отсутствии требования цикличности проводимых процессов можно перевести в работу даже ВСЕ передаваемое рабочему телу тепло. Например, в процессе изотермического расширения эта работа будет равна
$A = cM(T_{2} - T_{1})$.
Если у нас есть очень большая тепловая машина, которая может взять тепло от нагревателя при его (изменяющейся!) температуре и все указанное количество теплоты "переварит" за один раз, то мы получим полное преобразование количества теплоты $cM (T_{2} - T_{1})$ в работу.
Можно получить и больше - до $cMT_{2}$, вовсе не используя внешнюю среду. При этом нам не нужно ничего отдавать холодильнику - ведь мы не связаны условием цикличности, обязательным для обычной тепловой машины.
Очень большое тело имеет массу $M$ и удельную теплоемкость $c$. Какую максимальную механическую работу можно получить при помощи очень маленькой тепловой машины, используя большое тело в качестве нагревателя? А можно ли получить еще больше? Сколько именно? Во всех случаях считать, что температура окружающей среды $T_{1}$ не меняется. Начальная температура тела $T_{2}$ выше температуры окружающей среды.
Решение:
При помощи очень маленькой тепловой машины можно переносить тепло маленькими порциями от нагревателя к холодильнику, получая при этом механическую работу. Тут все понятно, хотя расчет не слишком прост - коэффициент полезного действия по мере уменьшения температуры нагревателя все время уменьшается, при расчете это придется учитывать.
Обозначим количество теплоты, отнимаемое заданный цикл у нагревателя, через $q$. Это количество может изменяться от цикла к циклу - нас интересует цикл при текущей температуре нагревателя $T$. Тогда полезная работа за цикл - мы используем наилучший для этих условий цикл Карно - равна
$A = q \left ( 1 - \frac{T_{1} }{T} \right )$.
За этот цикл изменение температуры нагревателя составит
$\Delta T = - \frac{q}{cM}$.
Теперь выразим работу через изменение температуры нагревателя:
$A = - cM \Delta T \left ( 1 - \frac{T_{1} }{T} \right )$.
Это - маленькая величина, а общую работу найдем суммированием таких работ. Суммирование работ очень маленькой тепловой машины можно заменить интегрированием, причем пределы изменения температуры нагревателя будут равны $T_{2}$ и $T_{1}$:
$A_{о6щ} = \int_{T_{1}}^{T_{2} } - cM \left ( 1 - \frac{T_{1} }{T} \right ) dT = cM (T_{2} - T_{1}) - cMT_{1} ln \left ( \frac{T_{2} }{T_{1} } \right )$.
Но если не связываться с маленькой тепловой машиной, можно получить работу и побольше, причем существенно! Дело в том, что при отсутствии требования цикличности проводимых процессов можно перевести в работу даже ВСЕ передаваемое рабочему телу тепло. Например, в процессе изотермического расширения эта работа будет равна
$A = cM(T_{2} - T_{1})$.
Если у нас есть очень большая тепловая машина, которая может взять тепло от нагревателя при его (изменяющейся!) температуре и все указанное количество теплоты "переварит" за один раз, то мы получим полное преобразование количества теплоты $cM (T_{2} - T_{1})$ в работу.
Можно получить и больше - до $cMT_{2}$, вовсе не используя внешнюю среду. При этом нам не нужно ничего отдавать холодильнику - ведь мы не связаны условием цикличности, обязательным для обычной тепловой машины.
