Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13111
2020-02-11 
Большая неподвижная горка имеет форму полусферы радиусом $R$. Тело массой m втаскивают на горку так, что приложенная к телу внешняя сила в каждой точке направлена по касательной к поверхности горки. Какое минимальное количество теплоты может выделиться при перемещении тела из нижней точки в верхнюю? Коэффициент трения на поверхности горки $\mu$.
Решение:
У этой задачи "кругленький" ответ - минимальное количество теплоты равно нулю! Действительно, можно тянуть тело таким образом, чтобы оно вовсе не давило на горку, при этом сила трения всюду будет нулевой и тепла не выделится вовсе (а меньше уж точно не получится). Для того чтобы сила реакции была нулевой, нужно для произвольной точки А (см. рисунок) выполнить условие
$mg \sin \alpha = \frac{mv^{2} }{R}$.
Отсюда
$v = \sqrt{gR \sin \alpha}$.
Проверим - не получится ли тут невыполнимых требований к действующей силе (например, не получится ли для нее бесконечной величины). Для этого найдем ускорение тела, посчитав производную от скорости по времени. Тут есть одна тонкость - мы ведь получили зависимость скорости от угла, а производную нужно считать по времени, но это легко обойти:
$\frac{ \Delta v}{ \Delta t} = \left ( \frac{ \Delta v }{ \Delta \alpha } \right ) \left ( \frac{ \Delta \alpha }{ \Delta t } \right ) = \left ( \frac{1}{2} \frac{ \sqrt{gR}}{ \sqrt{ \sin \alpha } } \cos \alpha \right ) \left ( \frac{ \Delta \alpha }{ \Delta t} \right )$.
Последний множитель - это угловая скорость, ее легко выразить через скорость тела (оно все время движется по окружности радиусом $R$):
$\left ( \frac{ \Delta \alpha }{ \Delta t} \right ) = \frac{v}{R}$.
Подставляя выражение для скорости, получим окончательно
$a = \frac{ \Delta v}{ \Delta t} = \frac{1}{2}g \cos \alpha$.
Итак, все в порядке, такое ускорение легко обеспечить.
Большая неподвижная горка имеет форму полусферы радиусом $R$. Тело массой m втаскивают на горку так, что приложенная к телу внешняя сила в каждой точке направлена по касательной к поверхности горки. Какое минимальное количество теплоты может выделиться при перемещении тела из нижней точки в верхнюю? Коэффициент трения на поверхности горки $\mu$.
Решение:
У этой задачи "кругленький" ответ - минимальное количество теплоты равно нулю! Действительно, можно тянуть тело таким образом, чтобы оно вовсе не давило на горку, при этом сила трения всюду будет нулевой и тепла не выделится вовсе (а меньше уж точно не получится). Для того чтобы сила реакции была нулевой, нужно для произвольной точки А (см. рисунок) выполнить условие
$mg \sin \alpha = \frac{mv^{2} }{R}$.
Отсюда
$v = \sqrt{gR \sin \alpha}$.
Проверим - не получится ли тут невыполнимых требований к действующей силе (например, не получится ли для нее бесконечной величины). Для этого найдем ускорение тела, посчитав производную от скорости по времени. Тут есть одна тонкость - мы ведь получили зависимость скорости от угла, а производную нужно считать по времени, но это легко обойти:
$\frac{ \Delta v}{ \Delta t} = \left ( \frac{ \Delta v }{ \Delta \alpha } \right ) \left ( \frac{ \Delta \alpha }{ \Delta t } \right ) = \left ( \frac{1}{2} \frac{ \sqrt{gR}}{ \sqrt{ \sin \alpha } } \cos \alpha \right ) \left ( \frac{ \Delta \alpha }{ \Delta t} \right )$.
Последний множитель - это угловая скорость, ее легко выразить через скорость тела (оно все время движется по окружности радиусом $R$):
$\left ( \frac{ \Delta \alpha }{ \Delta t} \right ) = \frac{v}{R}$.
Подставляя выражение для скорости, получим окончательно
$a = \frac{ \Delta v}{ \Delta t} = \frac{1}{2}g \cos \alpha$.
Итак, все в порядке, такое ускорение легко обеспечить.
