2016-10-21
В океане на расстоянии $L = 3 км$ друг от друга находятся два корабля. Глубина под ними $H = 1 км$. На одном из кораблей произведён выстрел из орудия. Через какое время после выстрела гидроакустик второго корабля зафиксирует приход первого, второго и третьего звуковых сигналов? Скорость звука в воде $v_{1} = 1,5 км/с$. Дно океана ровное и состоит из скальных пород, в которых скорость распространения звука $v_{2} = 4,5 км/с$. Скорость звука в воздухе во время стрельбы $v_{3} = 333 м/с$. Волнение на поверхности океана отсутствует.
Решение:
Звук от выстрела может достичь второго корабля несколькими путями (см. рис.).
1) Напрямую по воздуху. В этом случае время распространения звука равно $t_{1} = L/v_{3} \approx 9,01 с$.
2) Напрямую по воде. В этом случае время распространения звука $t_{2} = L/v_{1} = 2 с$.
3) По воде, с рядом последовательных отражений от границ разделов «вода — дно» и «вода — воздух». Рассмотрим распространение звука с $n$ отражениями от дна и
$n-1$ отражениями от границы «вода — воздух». Длина такого пути равна
$S_{3} = 2n \sqrt{ \left ( \frac{L}{2n} \right )^{2} + H^{2}} = \sqrt{L^{2} + 4n^{2}H^{2}}$,
а время распространения звука по нему
$T_{n} = \frac{S_{3}}{v_{1}} = \frac{ \sqrt{L^{2} + 4n^{2}H^{2}}}{v_{1}}$.
При $n = 1, 2, \cdots$. получаем времена: $T_{1} \approx 2,40 с, T_{2} \approx 3,33 с, \cdots$
4) По воде и по дну — звук через воду проходит до дна, проникает в донные породы, движется в них по границе раздела «вода — дно», вновь выходит в воду и либо достигает второго корабля, либо отражается от поверхности воды, после чего цикл «вода — дно — вода» повторяется до тех пор, пока звук не дойдёт до второго корабля. Очевидно, что минимальное время распространения звука по пути такого типа получится при одном цикле «вода — дно — вода». Для того, чтобы дошедший до дна звук начал распространяться вдоль границы раздела сред, необходимо, чтобы угол его падения на границу раздела был равен углу полного внутреннего отражения, который равен $\alpha = arcsin \frac{v_{1}}{v_{2}} \approx 0,3398 рад \approx 19,5^{ \circ}$. Время распространения звука при одном цикле «вода — дно — вода» равно:
$t_{4} = \frac{L - 2H tg \alpha}{v_{2}} + \frac{2H}{v_{1} \cos \alpha} \approx 1,92 с$,
при двух циклах —
$t_{5} = \frac{L - 4H tg \alpha}{v_{2}} + \frac{4H}{v_{1} \cos \alpha} \approx 3,19 с$,
и так далее.
В итоге, сравнивая найденные времена, получаем, что первый звуковой сигнал дойдёт до гидроакустика через 1,92 с по пути «вода — дно — вода», второй — через 2 с напрямую по воде, третий — через 2,4 с по воде с одним отражением от дна.