Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13105
2020-02-11 
Изучая некоторое вещество, экспериментатор Глюк обнаружил, что для небольшого изменения объема $\Delta V$ требуется увеличить давление на малую величину $\Delta p_{1}$, если это делать изотермически, и на малую величину $\Delta p_{2}$, если сжатие производить адиабатически. Кроме того, Глюк измерил удельные теплоемкости $c_{V}$ при постоянном объеме и $c_{p}$ при постоянном давлении. К сожалению, результат последнего измерения ( $c_{p}$ ) был утрачен. Помогите Глюку по результатам первых трех измерений восстановить значение $c_{p}$. Рассмотрите два случая: 1) исследуемое вещество было идеальным газом; 2) исследовалось вещество с неизвестным уравнением состояния.
Решение:
1) Для идеального газа известны уравнения изотермы: $pV = const$ и адиабаты: $pV^{ \gamma} = const$, где $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{V}} = \frac{c_{p} }{c_{V} }$, а $C_{p}$ и $C_{V}$ - молярные теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме соответственно. Из этих уравнений дифференцированием легко получить, что в точке пересечения изотермы и адиабаты наклон адиабаты в $\gamma$ раз больше:
$\left ( \frac{ \Delta p}{ \Delta V} \right )_{ад} = \frac{C_{p} }{C_{V} } \left ( \frac{ \Delta p}{ \Delta V} \right )_{изотер}$,
откуда
$\frac{ \Delta p_{2}}{ \Delta V} = \frac{C_{p} }{C_{V} } \frac{ \Delta p_{1} }{ \Delta V}$, и $C_{p} = C_{V} \frac{ \Delta p_{2} }{ \Delta p{1} }$.
2) Покажем, что все эти соотношения справедливы и для произвольного вещества с неизвестным уравнением состояния.
Рассмотрим бесконечно малый участок $pV$ - диаграммы (см. рисунок). Проведем из одной точки 2 изотерму 2-3, адиабату 2-5 и «изоэргу» 2-4, т.е. процесс, в котором внутренняя энергия остается постоянной. Бесконечно малые участки этих кривых можно считать прямолинейными. Нужно доказать, что
$\frac{p_{5} - p_{1}}{p_{3} - p_{1} } = \frac{C_{p} }{C_{V} }$.
Зависимость внутренней энергии $U$ от давления $p$ при постоянном объеме $V$ (вдоль изохоры 1-5) для произвольного вещества имеет некоторый сложный вид, но на бесконечно малом участке 1-5 ее можно считать линейной:
$\frac{U_{5} - U_{1} }{p_{5} - p_{1} } = \frac{U_{3} - U_{1} }{p_{3} - p_{1} }$,
откуда получим
$\frac{U_{5} - U_{1} }{U_{3} - U_{1} } = \frac{C_{p} }{C_{V} }$.
Введем обозначение $\Delta T = T_{2} - T_{1} = T_{3} - T_{1}$. По определению $C_{V}$ имеем $C_{V} \Delta T = U_{3} - U_{1}$. Для процесса 1-2 первое начало термодинамики дает
$C_{p} \Delta T = (U_{2} - U_{1} ) + A_{12}$.
В силу бесконечной малости $\Delta V$ работы $A_{12}, A_{32}, A_{42}$ и $A_{52}$ можно считать равными, поэтому, учитывая, что $U_{2} = U_{4}$ (точки 2 и 4 лежат на «изоэрге»), предыдущую формулу можно переписать в виде
$C_{p} \Delta T = (U_{4} - U_{1} ) + A_{52}$.
Первое начало термодинамики для адиабатического процесса 5-2 дает $A_{52} =U_{5} - U_{2} = U_{5} -U_{4}$. Тогда
$C_{p} \Delta T = U_{5} - U_{1}$,
и
$\frac{C_{p} }{C_{V} } = \frac{U_{5} - U_{1} }{U_{3} - U_{1} }$.
Изучая некоторое вещество, экспериментатор Глюк обнаружил, что для небольшого изменения объема $\Delta V$ требуется увеличить давление на малую величину $\Delta p_{1}$, если это делать изотермически, и на малую величину $\Delta p_{2}$, если сжатие производить адиабатически. Кроме того, Глюк измерил удельные теплоемкости $c_{V}$ при постоянном объеме и $c_{p}$ при постоянном давлении. К сожалению, результат последнего измерения ( $c_{p}$ ) был утрачен. Помогите Глюку по результатам первых трех измерений восстановить значение $c_{p}$. Рассмотрите два случая: 1) исследуемое вещество было идеальным газом; 2) исследовалось вещество с неизвестным уравнением состояния.
Решение:
1) Для идеального газа известны уравнения изотермы: $pV = const$ и адиабаты: $pV^{ \gamma} = const$, где $\gamma = \frac{C_{p}}{C_{V}} = \frac{c_{p} }{c_{V} }$, а $C_{p}$ и $C_{V}$ - молярные теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме соответственно. Из этих уравнений дифференцированием легко получить, что в точке пересечения изотермы и адиабаты наклон адиабаты в $\gamma$ раз больше:
$\left ( \frac{ \Delta p}{ \Delta V} \right )_{ад} = \frac{C_{p} }{C_{V} } \left ( \frac{ \Delta p}{ \Delta V} \right )_{изотер}$,
откуда
$\frac{ \Delta p_{2}}{ \Delta V} = \frac{C_{p} }{C_{V} } \frac{ \Delta p_{1} }{ \Delta V}$, и $C_{p} = C_{V} \frac{ \Delta p_{2} }{ \Delta p{1} }$.
2) Покажем, что все эти соотношения справедливы и для произвольного вещества с неизвестным уравнением состояния.
Рассмотрим бесконечно малый участок $pV$ - диаграммы (см. рисунок). Проведем из одной точки 2 изотерму 2-3, адиабату 2-5 и «изоэргу» 2-4, т.е. процесс, в котором внутренняя энергия остается постоянной. Бесконечно малые участки этих кривых можно считать прямолинейными. Нужно доказать, что
$\frac{p_{5} - p_{1}}{p_{3} - p_{1} } = \frac{C_{p} }{C_{V} }$.
Зависимость внутренней энергии $U$ от давления $p$ при постоянном объеме $V$ (вдоль изохоры 1-5) для произвольного вещества имеет некоторый сложный вид, но на бесконечно малом участке 1-5 ее можно считать линейной:
$\frac{U_{5} - U_{1} }{p_{5} - p_{1} } = \frac{U_{3} - U_{1} }{p_{3} - p_{1} }$,
откуда получим
$\frac{U_{5} - U_{1} }{U_{3} - U_{1} } = \frac{C_{p} }{C_{V} }$.
Введем обозначение $\Delta T = T_{2} - T_{1} = T_{3} - T_{1}$. По определению $C_{V}$ имеем $C_{V} \Delta T = U_{3} - U_{1}$. Для процесса 1-2 первое начало термодинамики дает
$C_{p} \Delta T = (U_{2} - U_{1} ) + A_{12}$.
В силу бесконечной малости $\Delta V$ работы $A_{12}, A_{32}, A_{42}$ и $A_{52}$ можно считать равными, поэтому, учитывая, что $U_{2} = U_{4}$ (точки 2 и 4 лежат на «изоэрге»), предыдущую формулу можно переписать в виде
$C_{p} \Delta T = (U_{4} - U_{1} ) + A_{52}$.
Первое начало термодинамики для адиабатического процесса 5-2 дает $A_{52} =U_{5} - U_{2} = U_{5} -U_{4}$. Тогда
$C_{p} \Delta T = U_{5} - U_{1}$,
и
$\frac{C_{p} }{C_{V} } = \frac{U_{5} - U_{1} }{U_{3} - U_{1} }$.
