Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13103
2020-02-11 
На гладком горизонтальном круглом столе находится массивный шар радиусом $R$. От малого толчка шар начинает двигаться вдоль радиуса по направлению к краю стола. На каком расстоянии от края стола шар ударится о пол? Высота поверхности стола над полом равна $H$.
Решение:
Стол гладкий, трения нет - шар при движении не будет вращаться вокруг своего центра. Тогда движение шара можно заменить движением материальной точки - его центра.
Приблизившись к краю стола, до окончательного отрыва от стола эта точка движется по окружности радиусом $R$ (см. рисунок). Угол отрыва $\alpha_{0}$ и начальную скорость $v_{0}$ можно найти обычным способом (такая задача широко известна - отрыв маленького тела, скользящего по поверхности гладкой сферы), записав выражения закона сохранения энергии и второго закона Ньютона:
$mgR(1 - \cos \alpha_{0} ) = \frac{mv_{0}^{2} }{2}, \frac{mv_{0}^{2} }{R} = mg \cos \alpha_{0}$.
Отсюда получаем
$\cos \alpha_{0} = \frac{2}{3}, v_{0} = \sqrt{ \frac{2gR}{3} }, v_{в} = v_{0} \sin \alpha_{0}$.
Теперь найдем время падения шара $\tau$:
$H + R \cos \alpha_{0} - R = \frac{g \tau^{2} }{2} + v_{в} \tau$,
или
$\tau^{2} + \frac{2}{g} \sqrt{ \frac{2gR}{3} } \frac{ \sqrt{5} }{3} \tau - \frac{2 \left ( H - \frac{R}{3} \right ) }{g} = 0$,
откуда
$\tau = - \sqrt{ \frac{10R}{27g} } + \sqrt{ \frac{2H}{g} - \frac{8R}{27g} }$.
(Кстати, если $H < R/3$, то шар ударится о стол еще до отрыва.) Зная время падения, легко найти горизонтальное смещение центра шара относительно края стола:
$l = R \sin \alpha_{0} + v_{0} \cos \alpha \cdot \tau = R \frac{ \sqrt{5}}{3} \left ( \sqrt{5} + \sqrt{ \frac{16}{3} \left ( \frac{H}{R} - \frac{4}{27} \right ) } - \frac{ \sqrt{80} }{9} \right )$.
На гладком горизонтальном круглом столе находится массивный шар радиусом $R$. От малого толчка шар начинает двигаться вдоль радиуса по направлению к краю стола. На каком расстоянии от края стола шар ударится о пол? Высота поверхности стола над полом равна $H$.
Решение:
Стол гладкий, трения нет - шар при движении не будет вращаться вокруг своего центра. Тогда движение шара можно заменить движением материальной точки - его центра.
Приблизившись к краю стола, до окончательного отрыва от стола эта точка движется по окружности радиусом $R$ (см. рисунок). Угол отрыва $\alpha_{0}$ и начальную скорость $v_{0}$ можно найти обычным способом (такая задача широко известна - отрыв маленького тела, скользящего по поверхности гладкой сферы), записав выражения закона сохранения энергии и второго закона Ньютона:
$mgR(1 - \cos \alpha_{0} ) = \frac{mv_{0}^{2} }{2}, \frac{mv_{0}^{2} }{R} = mg \cos \alpha_{0}$.
Отсюда получаем
$\cos \alpha_{0} = \frac{2}{3}, v_{0} = \sqrt{ \frac{2gR}{3} }, v_{в} = v_{0} \sin \alpha_{0}$.
Теперь найдем время падения шара $\tau$:
$H + R \cos \alpha_{0} - R = \frac{g \tau^{2} }{2} + v_{в} \tau$,
или
$\tau^{2} + \frac{2}{g} \sqrt{ \frac{2gR}{3} } \frac{ \sqrt{5} }{3} \tau - \frac{2 \left ( H - \frac{R}{3} \right ) }{g} = 0$,
откуда
$\tau = - \sqrt{ \frac{10R}{27g} } + \sqrt{ \frac{2H}{g} - \frac{8R}{27g} }$.
(Кстати, если $H < R/3$, то шар ударится о стол еще до отрыва.) Зная время падения, легко найти горизонтальное смещение центра шара относительно края стола:
$l = R \sin \alpha_{0} + v_{0} \cos \alpha \cdot \tau = R \frac{ \sqrt{5}}{3} \left ( \sqrt{5} + \sqrt{ \frac{16}{3} \left ( \frac{H}{R} - \frac{4}{27} \right ) } - \frac{ \sqrt{80} }{9} \right )$.
