2016-10-21
Два тонких стержня помещены в воду так, что они параллельны и расстояние между ними равно $a$. По одному из стержней резко ударяют. Через какое время звук от удара дойдёт до точки на втором стержне, удалённой от места удара на расстояние $\sqrt{ a^{2} + l^{2}}$, если скорости звука в воде и в стержне равны $c$ и $v$ соответственно?
Решение:
рис.1
рис.2
Обозначим точку удара по первому стержню через А, а точку, в которой принимают звуковой сигнал — через В (см. рис. 1). В зависимости от соотношения между параметрами, заданными в условии задачи, звук быстрее дойдёт до точки В или при распространении по прямой АВ, или при распространении сначала вдоль стержня, а затем по воде.
При $c \geq v$ звуковой сигнал, очевидно, быстрее дойдёт до точки В, распространяясь по прямой АВ. Время распространения сигнала в этом случае будет равно
$T_{1}= \frac{ \sqrt{a^{2} + l^{2}}}{c}$.
Пусть $c < v$. Рассмотрим два сигнала, одновременно вышедших из точки А, один из которых идёт по прямой сразу в точку В, а другой сначала распространяется на малое расстояние х по стержню до точки В, а затем идёт в точку В по воде. Обозначим $\angle CAB = \alpha$. Разность АВ — DВ в силу малости $x$ приближённо равна произведению $x \cos \alpha$. Следовательно, разность времён распространения сигналов по путям АВ и DВ равна
$\Delta t = \frac{AB}{c} - \left ( \frac{x}{v} + \frac{DB}{c} \right ) = \frac{x \cos \alpha}{c} - \frac{x}{v}$.
При выполнении условия
$\cos \alpha = \frac{l}{ \sqrt{ a^{2} + l^{2}}} < \frac{c}{v}$
разность $\Delta t$ отрицательна, и звук быстрее дойдёт до точки В по прямой, затратив на это время $T_{1}$. При $\cos \alpha > \frac{c}{v}$ разность $\Delta t$ положительна, то есть звуковой сигнал быстрее дойдёт до точки В по ломаной линии (распространяясь сначала вдоль стержня, а затем по воде).
Пусть в последнем случае звук доходит по стержню до некоторой точки $A^{ \prime}$ (см. рис. 2), для которой $\cos \alpha^{ \prime} = \frac{c}{v}$, и начинает распространяться по прямой $A^{ \prime}B$. Время распространения этого сигнала
$T_{2} = \frac{ l - \frac{a}{tg \alpha^{ \prime}}}{v} + \frac{a}{c \sin \alpha^{ \prime}} = \frac{l}{v} + a \left ( \frac{1}{c \sin \alpha^{ \prime}} - \frac{1}{v tg \alpha^{ \prime}} \right )$.
Так как $\cos \alpha^{ \prime} = \frac{c}{v}$, то $\sin \alpha^{ \prime} = \sqrt{1 - \frac{c^{2}}{v^{2}}}, tg \alpha^{ \prime} = \sqrt{ \frac{v^{2}}{c^{2}} - 1}$, и $T_{2} = \frac{l}{v} + a \sqrt{ \frac{1}{c^{2}} - \frac{1}{v^{2}}}$.
Объединяя рассмотренные случаи, получаем ответ для минимального времени распространения звука между точками А и В:
$T = \begin{cases} \frac{ \sqrt{ a^{2} + l^{2}}}{c} & \text{ при } \frac{c}{v} \geq \frac{l}{ \sqrt{a^{2} + l^{2}}}; \\ \frac{l}{v} + a \sqrt{ \frac{1}{c^{2}} - \frac{1}{v^{2}}} & \text{ при } \frac{c}{v} < \frac{l}{ \sqrt{a^{2} + l^{2}}}. \end{cases}$
Отметим, что при одновременном выполнении условий $c < v$ и $\cos \alpha > \frac{c}{v}$ — сигнал может распространяться как по пути $AA^{ \prime}B$, так и по путям $AB^{ \prime}$ и $AA^{ \prime \prime}B^{ \prime}B$. При этом сигналы, распространяющиеся по всем трём путям, достигнут точки В одновременно, но их интенсивности будут различными. Сигналы, прошедшие по путям $AA^{ \prime}B$ и $AB^{ \prime}B$, преломляются на границе стержень-вода по одному разу и будут иметь примерно одинаковую амплитуду, а сигналы, прошедшие по всем путям типа $AA^{ \prime \prime}B^{ \prime \prime}B$, преломляются по два раза и будут гораздо слабее. Заметим также, что после первого сигнала, пришедшего в точку В, будет слышен довольно продолжительный гул, так как звук излучают все точки стержня, по которому бежит волна от удара, но эти сигналы приходят позже. Ситуация в этом случае напоминает то, что слышно при пролёте сверхзвукового самолёта или ударе молнии: вначале наблюдатель слышит удар, а затем раскаты.
В заключение отметим, что задачу можно решать и другим способом, строя так называемый «конус Маха».