Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13089
2020-02-10 
На горизонтальном столе находится очень легкий клин с углом $\alpha = 30^{ \circ}$ при основании (рис.). На него поставили тяжелый тонкий обруч и отпустили его без начальной скорости. Коэффициент трения между обручем и клином $\mu = 0,7$. При каком коэффициенте трения между клином и столом клин останется неподвижным?
Решение:
Трение между обручем и клином велико, поэтому обруч катится по клину без проскальзывания (мы это обязательно проверим!). При таком движении полная энергия обруча (поступательного и вращательного движений) при скорости его центра $v$ равна $mv^{2}$. Запишем баланс энергий для начального момента и через промежуток времени $\tau$, когда скорость центра обруча достигла значения $v$:
$mv^{2} = mg \Delta H$,
или
$m( a \tau )^{2} = mg \frac{a \tau^{2} }{2} \sin \alpha$.
Отсюда найдем ускорение обруча:
$a = \frac{g \sin \alpha }{2}$.
Для сил трения и реакции опоры, действующих на обруч (рис.), получим
$f_{тр} = mg \sin \alpha - ma = \frac{mg \sin \alpha }{2}$ и $N = mg \cos \alpha$.
Теперь запишем условие неподвижности клина в проекциях на вертикальное и горизонтальное направления:
$Mg + N \cos \alpha + f_{тр} \sin \alpha - Q = 0$
и
$F_{тр} + f_{тр} \cos \alpha - N \sin \alpha = 0$,
где
$F_{тр} = \mu_{1}Q$.
Отсюда найдем искомый коэффициент трения $\mu_{1}$ между клином и столом:
$\mu_{1} = \frac{F_{тр}}{Q} = \frac{N \sin \alpha - f_{тр} \cos \alpha}{Mg + N \cos \alpha + f_{тр} \sin \alpha } = \frac{mg \sin \alpha \cos \alpha }{2Mg + 2mg \cos^{2} \alpha + mg \sin^{2} \alpha } = \frac{ \sin \alpha \cos \alpha }{2 \cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha } = \frac{ \sqrt{3} }{7} = 0,25$.
Здесь мы учли, что клин очень легкий, а обруч тяжелый, т.е. что $M \ll m$.
На горизонтальном столе находится очень легкий клин с углом $\alpha = 30^{ \circ}$ при основании (рис.). На него поставили тяжелый тонкий обруч и отпустили его без начальной скорости. Коэффициент трения между обручем и клином $\mu = 0,7$. При каком коэффициенте трения между клином и столом клин останется неподвижным?
Решение:
Трение между обручем и клином велико, поэтому обруч катится по клину без проскальзывания (мы это обязательно проверим!). При таком движении полная энергия обруча (поступательного и вращательного движений) при скорости его центра $v$ равна $mv^{2}$. Запишем баланс энергий для начального момента и через промежуток времени $\tau$, когда скорость центра обруча достигла значения $v$:
$mv^{2} = mg \Delta H$,
или
$m( a \tau )^{2} = mg \frac{a \tau^{2} }{2} \sin \alpha$.
Отсюда найдем ускорение обруча:
$a = \frac{g \sin \alpha }{2}$.
Для сил трения и реакции опоры, действующих на обруч (рис.), получим
$f_{тр} = mg \sin \alpha - ma = \frac{mg \sin \alpha }{2}$ и $N = mg \cos \alpha$.
Теперь запишем условие неподвижности клина в проекциях на вертикальное и горизонтальное направления:
$Mg + N \cos \alpha + f_{тр} \sin \alpha - Q = 0$
и
$F_{тр} + f_{тр} \cos \alpha - N \sin \alpha = 0$,
где
$F_{тр} = \mu_{1}Q$.
Отсюда найдем искомый коэффициент трения $\mu_{1}$ между клином и столом:
$\mu_{1} = \frac{F_{тр}}{Q} = \frac{N \sin \alpha - f_{тр} \cos \alpha}{Mg + N \cos \alpha + f_{тр} \sin \alpha } = \frac{mg \sin \alpha \cos \alpha }{2Mg + 2mg \cos^{2} \alpha + mg \sin^{2} \alpha } = \frac{ \sin \alpha \cos \alpha }{2 \cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha } = \frac{ \sqrt{3} }{7} = 0,25$.
Здесь мы учли, что клин очень легкий, а обруч тяжелый, т.е. что $M \ll m$.
