Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13081
2020-02-10 
Из тонкой жесткой проволоки согнули угол $90^{ \circ}$, одну из сторон угла закрепили в вертикальном положении, другую - в горизонтальном (рис.). На каждую из сторон надели маленькую шайбу массой $M$ и соединили шайбы легким стержнем длиной $L$. Вначале этот стержень почти вертикален, затем от малого толчка система приходит в движение. Найдите максимальные скорости каждой из шайб. Трение отсутствует.
Решение:
Нижняя шайба вначале разгоняется, но к концу пути она должна остановиться; следовательно, где-то в промежуточном положении ее скорость будет максимальной. Запишем закон сохранения энергии (см. рис.):
$\frac{Mv^{2}}{2} + \frac{Mu^{2}}{2} = MgL(1 - \cos \alpha)$
и соотношение между скоростями:
$v \cos \alpha = u \sin \alpha$.
Тогда получим
$u^{2} (1 + tg^{2} \alpha ) = 2gL (1 - \cos \alpha )$,
или
$u^{2} = 2gL(1 - \cos \alpha ) \cos^{2} \alpha$.
Возьмем производную по углу и приравняем ее к нулю:
$-2 \cos \alpha_{0} \sin \alpha_{0} + 3 \cos^{2} \alpha_{0} \sin \alpha_{0} = 0$.
Подходит только $\cos \alpha_{0} = \frac{2}{3}$, поэтому
$u_{m} = u( \alpha_{0} ) = \sqrt{ \frac{8}{27} gL} \approx 0,55 \sqrt{gL}$.
Когда верхняя шайба почти достигнет своего положения внизу, скорость второй станет равной нулю, и вся энергия достанется верхней. В этот момент
$v = v_{m} = \sqrt{2gL} \approx 1,41 \sqrt{gL}$.
Из тонкой жесткой проволоки согнули угол $90^{ \circ}$, одну из сторон угла закрепили в вертикальном положении, другую - в горизонтальном (рис.). На каждую из сторон надели маленькую шайбу массой $M$ и соединили шайбы легким стержнем длиной $L$. Вначале этот стержень почти вертикален, затем от малого толчка система приходит в движение. Найдите максимальные скорости каждой из шайб. Трение отсутствует.
Решение:
Нижняя шайба вначале разгоняется, но к концу пути она должна остановиться; следовательно, где-то в промежуточном положении ее скорость будет максимальной. Запишем закон сохранения энергии (см. рис.):
$\frac{Mv^{2}}{2} + \frac{Mu^{2}}{2} = MgL(1 - \cos \alpha)$
и соотношение между скоростями:
$v \cos \alpha = u \sin \alpha$.
Тогда получим
$u^{2} (1 + tg^{2} \alpha ) = 2gL (1 - \cos \alpha )$,
или
$u^{2} = 2gL(1 - \cos \alpha ) \cos^{2} \alpha$.
Возьмем производную по углу и приравняем ее к нулю:
$-2 \cos \alpha_{0} \sin \alpha_{0} + 3 \cos^{2} \alpha_{0} \sin \alpha_{0} = 0$.
Подходит только $\cos \alpha_{0} = \frac{2}{3}$, поэтому
$u_{m} = u( \alpha_{0} ) = \sqrt{ \frac{8}{27} gL} \approx 0,55 \sqrt{gL}$.
Когда верхняя шайба почти достигнет своего положения внизу, скорость второй станет равной нулю, и вся энергия достанется верхней. В этот момент
$v = v_{m} = \sqrt{2gL} \approx 1,41 \sqrt{gL}$.
