2016-10-21
Имеется нелинейный электронный прибор $\tilde{R}$. На графике для него изображена зависимость тока $I$ от напряжения $U$ (на участках 1-2 и 3-4 наклон графика очень велик). Собрали цепь, состоящую из $\tilde{R}$, индуктивности $L$ и идеальной батарейки с ЭДС, равной $U_{0}$, причём прибор $\tilde{R}$ включён с «правильной» полярностью, соответствующей графику. Постройте график зависимости силы тока в цепи от времени и найдите период колебаний тока.
Решение:
рис.1
рис.2
После замыкания цепи электронный прибор начнёт работать на участке 1-2 его характеристики. При этом уравнение, описывающее изменение силы тока $I$ в цепи со временем $t$, будет иметь вид:
$L \frac{ \Delta I}{ \Delta t} = U_{0}$,
откуда следует, что $LI = U_{0}t$, то есть сразу после замыкания цепи сила тока в ней будет нарастать прямо пропорционально времени.
Нарастание тока будет продолжаться до момента времени $t{1} = LI_{2}/U_{0}$ — до тех пор, пока состояние прибора не изобразится точкой 2 на графике зависимости $I(U)$ (см. рис. 1). Начиная с этого момента дальнейшее увеличение силы тока через прибор станет невозможным. При этом напряжение на катушке будет падать, а на приборе — расти. В результате прибор очень быстро совершит переход $2-3-2^{ \prime}$, так как состояние системы на участке 2-3, на котором прибор характеризуется отрицательным дифференциальным сопротивлением, неустойчиво. Поскольку сила тока в катушке не может измениться мгновенно, то токи в состояниях 2 и $2^{ \prime}$ одинаковы: $I_{2} = I_{2^{ \prime}}$ (заметим, что во время перехода $2-3-2^{ \prime}$ ток в цепи поддерживается постоянным за счёт так называемых «паразитных ёмкостей», которые неизбежно имеются у всех элементов цепи).
После того, как система окажется в состоянии $2^{ \prime}$ электронный прибор будет работать, как идеальная батарейка с ЭДС, равной $—2 U_{0}$. Поэтому уравнение, описывающее изменение силы тока в цепи со временем, примет вид:
$L \frac{ \Delta I}{ \Delta t} = U_{0} - 2U_{0} = - U_{0}$,
откуда следует, что $L \Delta I = — U_{0} \Delta t$, то есть сила тока в цепи будет уменьшаться со временем по линейному закону. Через время $\tau = L(I_{2} — I_{1})/U_{0}$ сила тока станет равной $I_{1}$, и система окажется в состоянии 3, из которого очень быстро совершит переход $3-2-3^{ \prime}$ через участок неустойчивости 3-2. После этого сила тока в цепи вновь начнёт нарастать от значения $I_{1}$ до значения $I_{2}$ в соответствии с уравнением $L \frac{ \Delta I}{ \Delta t} = U_{0}$, и через время $\tau$ система вновь придёт в состояние 2,
после чего описанные выше процессы будут повторяться.
Таким образом, сила тока, текущего в цепи, будет изменяться со временем по «пилообразному» закону (см. рис. 2) с периодом повторения $T = 2 \tau = 2L(I_{2} - I_{1})/U_{0}$.