ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-02-10   
При движении точки по прямого график зависимости ее скорости от координаты представляет в выбранном масштабе четверть окружности (рис.). Найдите ускорение точки в конце отрезка - когда скорость спадает до нуля. Найдите также время движения на отрезке ($0; x_{0}$).



Решение:


Такая зависимость между скоростью точки и ее координатой получается при гармонических колебаниях. Проще всего записать энергетический баланс, например, для колебаний груза на пружине:

$\frac{mv^{2}}{2} + \frac{kx^{2} }{2} = \frac{mv_{0}^{2} }{2}$,

откуда

$\left ( \frac{v}{v_{0} } \right )^{2} + \left ( \sqrt{ \frac{k}{m}} \frac{x}{v_{0} } \right )^{2} = 1$,

или (рис.)


$\left ( \frac{v}{v_{0} } \right )^{2} + \left ( \frac{x}{x_{0} } \right )^{2} = 1$.

Дальше все понятно:

$\omega_{0} = \frac{v_{0} }{x_{0} }, a(x_{0}) = a_{m} = \omega_{0}^{2}x_{0} = \frac{v_{0}^{2} }{x_{0} }$.

Конечно, нужно еще "добавить" знак "минус":

$a(x_{0} ) = - \frac{v_{0}^{2} }{x_{0} }$.

Искомое время составляет четверть периода колебаний:

$\tau = \frac{ \frac{ \pi}{2} }{ \omega_{0} } = \frac{ \pi }{2} \frac{x_{0} }{v_{0} }$.