Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13073
2020-02-10 
Говорят, что в архиве Снеллиуса нашли оптическую схему, на которой были изображены линза, предмет и его изображение. От времени чернила высохли, и остался только предмет на масштабной сетке (рис.). Из текста следует, что пред мет и изображение одинаковых размеров и формы, а главная оптическая ось параллельна некоторым линиям масштабной сетки. Восстановите оптическую схему (изображение, линзу, фокусы).
Решение:
Один из отрезков предмета перпендикулярен главной оптической оси линзы, поэтому его изображение тоже перпендикулярно ей. Чтобы поперечное увеличение этого отрезка было единичным, он должен находиться на расстоянии $2F$ линзы, причем $F > 0$. Второй отрезок и его изображение параллельны главной оптической оси, а это возможно, лишь, если они лежат на ней.
Пусть $l$ - длина отрезка креста вдоль главной оптической оси, $x_{1}, x_{2}$ - координаты его концов, $b$ - часть отрезка между точками $2F$ и $x_{2}$ (рис.), $a$ - размер клетки сетки. В зависимости от ориентации креста относительно линзы возможны три значения отношения $\alpha = \frac{b}{l}$, а именно: $\alpha_{1} = \frac{1}{3}, \alpha_{2} = \frac{2}{3}, \alpha_{3} = \frac{1}{2}$. Условие равенства длин отрезка креста вдоль оси и его изображения запишем в виде
$l = \frac{x_{2}F }{x_{2} - F } - \frac{x_{1}F }{x_{1} - F }$,
или после преобразований -
$lx_{1}x_{2} + lF^{2} - lF (x_{1} + x_{2}) = (x_{1} - x_{2}) F^{2}$
Подставив сюда $x_{1} = x_{2} + l$, получим
$x_{2} (x_{2} + l) - F(2x_{2} - l) = 0$.
Теперь подставим $x_{2} = 2F - \alpha l$ и найдем $F$:
$\alpha^{2}l - 2 \alpha F + F - \alpha l = 0$, и $F = \frac{ \alpha (1 - \alpha )l }{1 - 2 \alpha}$.
Поскольку $F > 0$, то $\alpha = \frac{1}{2}$ (для других $\alpha$ получается $F < 0$), чему соответствует $l = 3 \alpha$. Отсюда $F = 2a$, после чего легко восстанавливается вся оптическая схема (рис.).
Говорят, что в архиве Снеллиуса нашли оптическую схему, на которой были изображены линза, предмет и его изображение. От времени чернила высохли, и остался только предмет на масштабной сетке (рис.). Из текста следует, что пред мет и изображение одинаковых размеров и формы, а главная оптическая ось параллельна некоторым линиям масштабной сетки. Восстановите оптическую схему (изображение, линзу, фокусы).
Решение:
Один из отрезков предмета перпендикулярен главной оптической оси линзы, поэтому его изображение тоже перпендикулярно ей. Чтобы поперечное увеличение этого отрезка было единичным, он должен находиться на расстоянии $2F$ линзы, причем $F > 0$. Второй отрезок и его изображение параллельны главной оптической оси, а это возможно, лишь, если они лежат на ней.
Пусть $l$ - длина отрезка креста вдоль главной оптической оси, $x_{1}, x_{2}$ - координаты его концов, $b$ - часть отрезка между точками $2F$ и $x_{2}$ (рис.), $a$ - размер клетки сетки. В зависимости от ориентации креста относительно линзы возможны три значения отношения $\alpha = \frac{b}{l}$, а именно: $\alpha_{1} = \frac{1}{3}, \alpha_{2} = \frac{2}{3}, \alpha_{3} = \frac{1}{2}$. Условие равенства длин отрезка креста вдоль оси и его изображения запишем в виде
$l = \frac{x_{2}F }{x_{2} - F } - \frac{x_{1}F }{x_{1} - F }$,
или после преобразований -
$lx_{1}x_{2} + lF^{2} - lF (x_{1} + x_{2}) = (x_{1} - x_{2}) F^{2}$
Подставив сюда $x_{1} = x_{2} + l$, получим
$x_{2} (x_{2} + l) - F(2x_{2} - l) = 0$.
Теперь подставим $x_{2} = 2F - \alpha l$ и найдем $F$:
$\alpha^{2}l - 2 \alpha F + F - \alpha l = 0$, и $F = \frac{ \alpha (1 - \alpha )l }{1 - 2 \alpha}$.
Поскольку $F > 0$, то $\alpha = \frac{1}{2}$ (для других $\alpha$ получается $F < 0$), чему соответствует $l = 3 \alpha$. Отсюда $F = 2a$, после чего легко восстанавливается вся оптическая схема (рис.).
