Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1307
2016-10-21 
Ток через диод в диапазоне напряжений $U$ от —5 В до +0,1 В хорошо описывается формулой $I(U) = I_{0}(2^{U/W} — 1)$, где $I_{0} = 10 мкА$ и $W = 0,01 В$. Этот диод последовательно с конденсатором ёмкостью $C = 100 мкФ$ подключают к генератору прямоугольных импульсов (см. рисунок). Зависимость напряжения на клеммах генератора от времени показана на рисунке. Найдите зависимость напряжения на конденсаторе от времени в установившемся режиме.
Решение:
Как видно из приведённого в условии задачи рисунка, на каждом периоде следования импульсов напряжение на клеммах генератора в течение времени $T_{1} = 4,5 \cdot 10^{-3} с$ равно нулю, а в течение остального времени $T_{2} = 0,5 \cdot 10^{-3} с$ оно равно $U_{0} = 1 В$. Предположим, что напряжение на конденсаторе $U_{C}$ в установившемся режиме всё время не очень сильно отличается от $U_{0}$. Если это так, то и среднее значение напряжения на конденсаторе $\langle U_{C} \rangle$ также близко к $U_{0}$. Тогда в течение времени $T_{1}$ напряжение на диоде равно $U_{C} \approx — U_{0}$, и поэтому ток, текущий через диод, равен $I_{1} \approx I_{0}(2^{- U_{0}/W} — 1) \approx -I_{0}$, так как $U_{0} \gg W$. Поэтому в течение времени $T_{1}$ конденсатор разряжается через диод обратным током диода $-I_{0}$, и напряжение $U_{C}$ на конденсаторе уменьшается на величину $\Delta U_{C} = \frac{I_{0}T_{1}}{C} = 4,5 \cdot 10^{-4} В$.
В течение времени $T_{2}$ происходит зарядка конденсатора током $I_{2} = I_{0} (2^{(U_{0} - U_{C})/W} - 1)$. Так как $U_{C} \approx \langle U_{C} \rangle$, то ток $I_{2}$ за время $T_{2}$ также изменяется незначительно. Тогда, поскольку в установившемся режиме напряжение на конденсаторе должно за время $T_{2}$ увеличиваться на такую же величину $\Delta U_{C}$, на какую оно уменьшается за время $T_{1}$, то $\Delta U_{C} = \frac{I_{0}T_{1}}{C} = \frac{I_{2}T_{2}}{C}$. Отсюда следует, что $I_{0}T_{1} = I_{2}T_{2}$, то есть $T_{1} = T_{2}(2^{(U_{0} - \langle U_{C} \rangle )W } — 1)$, откуда среднее напряжение на конденсаторе
$\langle U_{C} \rangle = U_{0} - W log_{2} \left ( \frac{T_{1}}{T_{2}} + 1 \right ) \approx 0,97 В$.
Видно, что предположение о том, что $U_{C} \approx U_{0}$, верно. Кроме того, оправдывается и предположение о незначительности изменения тока $I_{2}$. Действительно, такое предположение справедливо, поскольку изменение напряжения на диоде за время $T_{2}$, равное $\Delta U_{C} = 4,5 \cdot 10^{-4} В$, мало по сравнению со средним (за тот же промежуток времени) значением напряжения на диоде $U_{0} — \langle U_{C} \rangle \approx 0,03 В$, величиной которого и определяется ток $I_{2}$.
Итак, напряжение на конденсаторе изменяется пилообразно с амплитудой $\Delta U_{C} \approx 4,5 \cdot 10^{-4} В$ около среднего значения $\langle U_{C} \rangle = 0,97 В$ (см. рис.).
Ток через диод в диапазоне напряжений $U$ от —5 В до +0,1 В хорошо описывается формулой $I(U) = I_{0}(2^{U/W} — 1)$, где $I_{0} = 10 мкА$ и $W = 0,01 В$. Этот диод последовательно с конденсатором ёмкостью $C = 100 мкФ$ подключают к генератору прямоугольных импульсов (см. рисунок). Зависимость напряжения на клеммах генератора от времени показана на рисунке. Найдите зависимость напряжения на конденсаторе от времени в установившемся режиме.
Решение:
Как видно из приведённого в условии задачи рисунка, на каждом периоде следования импульсов напряжение на клеммах генератора в течение времени $T_{1} = 4,5 \cdot 10^{-3} с$ равно нулю, а в течение остального времени $T_{2} = 0,5 \cdot 10^{-3} с$ оно равно $U_{0} = 1 В$. Предположим, что напряжение на конденсаторе $U_{C}$ в установившемся режиме всё время не очень сильно отличается от $U_{0}$. Если это так, то и среднее значение напряжения на конденсаторе $\langle U_{C} \rangle$ также близко к $U_{0}$. Тогда в течение времени $T_{1}$ напряжение на диоде равно $U_{C} \approx — U_{0}$, и поэтому ток, текущий через диод, равен $I_{1} \approx I_{0}(2^{- U_{0}/W} — 1) \approx -I_{0}$, так как $U_{0} \gg W$. Поэтому в течение времени $T_{1}$ конденсатор разряжается через диод обратным током диода $-I_{0}$, и напряжение $U_{C}$ на конденсаторе уменьшается на величину $\Delta U_{C} = \frac{I_{0}T_{1}}{C} = 4,5 \cdot 10^{-4} В$.
В течение времени $T_{2}$ происходит зарядка конденсатора током $I_{2} = I_{0} (2^{(U_{0} - U_{C})/W} - 1)$. Так как $U_{C} \approx \langle U_{C} \rangle$, то ток $I_{2}$ за время $T_{2}$ также изменяется незначительно. Тогда, поскольку в установившемся режиме напряжение на конденсаторе должно за время $T_{2}$ увеличиваться на такую же величину $\Delta U_{C}$, на какую оно уменьшается за время $T_{1}$, то $\Delta U_{C} = \frac{I_{0}T_{1}}{C} = \frac{I_{2}T_{2}}{C}$. Отсюда следует, что $I_{0}T_{1} = I_{2}T_{2}$, то есть $T_{1} = T_{2}(2^{(U_{0} - \langle U_{C} \rangle )W } — 1)$, откуда среднее напряжение на конденсаторе
$\langle U_{C} \rangle = U_{0} - W log_{2} \left ( \frac{T_{1}}{T_{2}} + 1 \right ) \approx 0,97 В$.
Видно, что предположение о том, что $U_{C} \approx U_{0}$, верно. Кроме того, оправдывается и предположение о незначительности изменения тока $I_{2}$. Действительно, такое предположение справедливо, поскольку изменение напряжения на диоде за время $T_{2}$, равное $\Delta U_{C} = 4,5 \cdot 10^{-4} В$, мало по сравнению со средним (за тот же промежуток времени) значением напряжения на диоде $U_{0} — \langle U_{C} \rangle \approx 0,03 В$, величиной которого и определяется ток $I_{2}$.
Итак, напряжение на конденсаторе изменяется пилообразно с амплитудой $\Delta U_{C} \approx 4,5 \cdot 10^{-4} В$ около среднего значения $\langle U_{C} \rangle = 0,97 В$ (см. рис.).
