Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13068
2020-02-10 
Две тонкие медные проволоки одинаковой длины соединили параллельно и подключили последовательно с лампочкой к источнику постоянного напряжения. Первая проволока нагрелась на $16^{ \circ} С$ выше комнатной температуры, а вторая - в $\alpha = 2$ раза меньше. На сколько градусов выше комнатной температуры нагреются проволоки, если их параллельное соединение заменить последовательным? Сопротивление каждой из проволок много меньше сопротивления лампочки и источника, зависимость сопротивления проволок от температуры не учитывать.
Решение:
Пусть $r_{1}$ и $r_{2}$ - радиусы проволок, $l$ - их длина. Тогда сопротивления проволок составляют
$R_{1} = \frac{ \rho l}{ \pi r_{1}^{2}}, R_{2} = \frac{ \rho l}{ \pi r_{2}^{2} }$.
Мощности электрического тока, выделяющиеся на каждой из проволок при параллельном соединении, равны
$P_{1} = \frac{U^{2} }{R_{1} } = \frac{U^{2} \pi r_{1}^{2} }{ \rho l}, P_{2} = \frac{U^{2} }{R_{2} } = \frac{ U^{2} \pi r_{2}^{2} }{ \rho l}$,
где $U$ - напряжение на проволоках. В установившемся режиме, когда первая проволока нагрелась на $\Delta t_{1}$, а вторая на $\Delta t_{2}$, вся мощность электрического тока уходит через боковые поверхности проволок и идет на нагревание окружающей среды:
$P_{1} = k \cdot 2 \pi r_{1}l \Delta t_{1}, P_{2} = k \cdot 2 \pi r_{2} l \Delta t_{2}$,
где $k$ - коэффициент пропорциональности. Тогда получим
$U^{2}r_{1} = 2k \rho l^{2} \Delta t_{1}, U^{2}r_{2} =2k \rho l^{2} \Delta t_{2}$,
или
$\frac{r_{1} }{r_{2} } = \frac{ \Delta t_{1} }{ \Delta t_{2} } = \alpha$.
Следовательно, отношение токов через проволоки при параллельном соединении равно
$\frac{I_{1} }{I_{2} } = \frac{ \frac{U}{R_{1} } }{ \frac{U}{R_{2} } } = \frac{R_{2} }{R_{1} } = \left ( \frac{r_{1} }{r_{2} } \right )^{2} = \alpha^{2}$.
Поскольку сопротивление каждой из проволок много меньше сопротивления лампочки и источника, при замене параллельного соединения на последовательное сила общего тока в цепи не изменится:
$I = I_{1} + I_{2} = (1 + \alpha^{2} ) I_{2}$.
Нагрев проволок (от комнатной температуры) в обоих случаях прямо пропорционален выделяющейся на них мощности электрического тока:
$\frac{ \Delta t_{1}^{ \prime}}{ \Delta t_{1} } = \frac{P_{1}^{ \prime} }{P_{1} } = \frac{I^{2}R_{1} }{I_{1}^{2}R_{1} } = \left ( \frac{ \alpha^{2} + 1 }{ \alpha^{2} } \right )^{2}$,
$\frac{ \Delta t_{2}^{ \prime}}{ \Delta t_{2} } = \frac{P_{2}^{ \prime} }{P_{2} } = \frac{I^{2}R_{2} }{I_{2}^{2}R_{2} } = \left ( \alpha^{2} + 1 \right )^{2}$.
где штрихованные переменные относятся к последовательному подключению проволок. Отсюда находим
$\Delta t_{1}^{ \prime} = \left ( \frac{ \alpha^{2} + 1 }{ \alpha^{2} } \right )^{2} \Delta t_{1} = 25^{ \circ} С$,
$\Delta t_{2}^{ \prime} = \left ( \alpha^{2} + 1 \right )^{2} \frac{ \Delta t_{1}}{ \alpha } = 200^{ \circ} С$.
Две тонкие медные проволоки одинаковой длины соединили параллельно и подключили последовательно с лампочкой к источнику постоянного напряжения. Первая проволока нагрелась на $16^{ \circ} С$ выше комнатной температуры, а вторая - в $\alpha = 2$ раза меньше. На сколько градусов выше комнатной температуры нагреются проволоки, если их параллельное соединение заменить последовательным? Сопротивление каждой из проволок много меньше сопротивления лампочки и источника, зависимость сопротивления проволок от температуры не учитывать.
Решение:
Пусть $r_{1}$ и $r_{2}$ - радиусы проволок, $l$ - их длина. Тогда сопротивления проволок составляют
$R_{1} = \frac{ \rho l}{ \pi r_{1}^{2}}, R_{2} = \frac{ \rho l}{ \pi r_{2}^{2} }$.
Мощности электрического тока, выделяющиеся на каждой из проволок при параллельном соединении, равны
$P_{1} = \frac{U^{2} }{R_{1} } = \frac{U^{2} \pi r_{1}^{2} }{ \rho l}, P_{2} = \frac{U^{2} }{R_{2} } = \frac{ U^{2} \pi r_{2}^{2} }{ \rho l}$,
где $U$ - напряжение на проволоках. В установившемся режиме, когда первая проволока нагрелась на $\Delta t_{1}$, а вторая на $\Delta t_{2}$, вся мощность электрического тока уходит через боковые поверхности проволок и идет на нагревание окружающей среды:
$P_{1} = k \cdot 2 \pi r_{1}l \Delta t_{1}, P_{2} = k \cdot 2 \pi r_{2} l \Delta t_{2}$,
где $k$ - коэффициент пропорциональности. Тогда получим
$U^{2}r_{1} = 2k \rho l^{2} \Delta t_{1}, U^{2}r_{2} =2k \rho l^{2} \Delta t_{2}$,
или
$\frac{r_{1} }{r_{2} } = \frac{ \Delta t_{1} }{ \Delta t_{2} } = \alpha$.
Следовательно, отношение токов через проволоки при параллельном соединении равно
$\frac{I_{1} }{I_{2} } = \frac{ \frac{U}{R_{1} } }{ \frac{U}{R_{2} } } = \frac{R_{2} }{R_{1} } = \left ( \frac{r_{1} }{r_{2} } \right )^{2} = \alpha^{2}$.
Поскольку сопротивление каждой из проволок много меньше сопротивления лампочки и источника, при замене параллельного соединения на последовательное сила общего тока в цепи не изменится:
$I = I_{1} + I_{2} = (1 + \alpha^{2} ) I_{2}$.
Нагрев проволок (от комнатной температуры) в обоих случаях прямо пропорционален выделяющейся на них мощности электрического тока:
$\frac{ \Delta t_{1}^{ \prime}}{ \Delta t_{1} } = \frac{P_{1}^{ \prime} }{P_{1} } = \frac{I^{2}R_{1} }{I_{1}^{2}R_{1} } = \left ( \frac{ \alpha^{2} + 1 }{ \alpha^{2} } \right )^{2}$,
$\frac{ \Delta t_{2}^{ \prime}}{ \Delta t_{2} } = \frac{P_{2}^{ \prime} }{P_{2} } = \frac{I^{2}R_{2} }{I_{2}^{2}R_{2} } = \left ( \alpha^{2} + 1 \right )^{2}$.
где штрихованные переменные относятся к последовательному подключению проволок. Отсюда находим
$\Delta t_{1}^{ \prime} = \left ( \frac{ \alpha^{2} + 1 }{ \alpha^{2} } \right )^{2} \Delta t_{1} = 25^{ \circ} С$,
$\Delta t_{2}^{ \prime} = \left ( \alpha^{2} + 1 \right )^{2} \frac{ \Delta t_{1}}{ \alpha } = 200^{ \circ} С$.
