Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13061
2020-02-10 
Для определения емкости $C$ конденсатора большой емкости применяется следующий метод. Конденсатор заряжают до напряжения батарейки, а затем разряжают его несколько раз при помощи конденсатора известной емкости $C_{0} = 10 мкФ$, который каждый раз присоединяют к выводам батарейки, а затем подключают параллельно выводам конденсатора емкостью $C$ в противоположной полярности - "плюсом" к "минусу". Так повторяют определенное число раз, а затем проверяют остаточный заряд конденсатора емкостью $C$, подключая к нему микроамперметр. После 8 повторов максимальное отклонение стрелки составило 10 делений. В следующем опыте после 9 повторов стрелка отклонилась на 20 делений в другую сторону. Определите по этим данным емкость $C$.
Решение:
Обозначим заряд конденсатора емкостью $C$ после нескольких циклов переключения через $Q$. Тогда после очередного подключения маленького конденсатора с зарядом пластин $q$ получится полный заряд $Q - q$ и заряд конденсатора емкостью $C$ станет равным
$\frac{(Q-q)C}{C + C_{0} } = (Q - q)a$, где $a = \frac{C}{C + C_{0} }$.
Теперь можно записать ряд значений заряда конденсатора начиная с $Q_{0}$:
$Q_{0}, Q_{0}a - aq, Q_{0}a^{2} - q(a^{2} + a), Q_{0}a^{3} - q(a^{3} + a^{2} + a ), \cdots , Q_{0}a^{n} - q (a^{n} + a^{n - 1} + \cdots + a )$.
Выражение в последних скобках легко преобразовать, дополнив до бесконечно убывающей геометрической прогрессии, и заменить на $\frac{a - a^{n + 1}}{1- a}$. Пусть после $n$ циклов заряд большого конденсатора окажется в точности нулевым, тогда можно записать
$Q_{0}a^{n} = q \frac{a - a^{n + 1} }{1 - a}$.
Учтем, что $Q_{0} = CU$ и $q = C_{0}U$, и после простых преобразований получим
$a = (0,5)^{1/n}$.
Из этого выражения можно вычислить отношение
$\frac{C}{C_{0}} = \frac{a}{1 - a}$.
Для приведенных в задаче чисел $n = 8$ и $n = 9$ получим отношения емкостей 11,05 и 12,5. Истинное значение ближе к 11,05 - простая пропорция дает для отношения емкостей конденсаторов $C/C_{0} = 11,5$ и емкость $C = 115 мкФ$. При расчетах мы пренебрегли саморазрядом конденсаторов в процессе измерений (для обычных электролитических конденсаторов таких емкостей саморазряд может оказаться очень существенным), более точное вычисление неизвестной емкости при этом неоправданно.
Для определения емкости $C$ конденсатора большой емкости применяется следующий метод. Конденсатор заряжают до напряжения батарейки, а затем разряжают его несколько раз при помощи конденсатора известной емкости $C_{0} = 10 мкФ$, который каждый раз присоединяют к выводам батарейки, а затем подключают параллельно выводам конденсатора емкостью $C$ в противоположной полярности - "плюсом" к "минусу". Так повторяют определенное число раз, а затем проверяют остаточный заряд конденсатора емкостью $C$, подключая к нему микроамперметр. После 8 повторов максимальное отклонение стрелки составило 10 делений. В следующем опыте после 9 повторов стрелка отклонилась на 20 делений в другую сторону. Определите по этим данным емкость $C$.
Решение:
Обозначим заряд конденсатора емкостью $C$ после нескольких циклов переключения через $Q$. Тогда после очередного подключения маленького конденсатора с зарядом пластин $q$ получится полный заряд $Q - q$ и заряд конденсатора емкостью $C$ станет равным
$\frac{(Q-q)C}{C + C_{0} } = (Q - q)a$, где $a = \frac{C}{C + C_{0} }$.
Теперь можно записать ряд значений заряда конденсатора начиная с $Q_{0}$:
$Q_{0}, Q_{0}a - aq, Q_{0}a^{2} - q(a^{2} + a), Q_{0}a^{3} - q(a^{3} + a^{2} + a ), \cdots , Q_{0}a^{n} - q (a^{n} + a^{n - 1} + \cdots + a )$.
Выражение в последних скобках легко преобразовать, дополнив до бесконечно убывающей геометрической прогрессии, и заменить на $\frac{a - a^{n + 1}}{1- a}$. Пусть после $n$ циклов заряд большого конденсатора окажется в точности нулевым, тогда можно записать
$Q_{0}a^{n} = q \frac{a - a^{n + 1} }{1 - a}$.
Учтем, что $Q_{0} = CU$ и $q = C_{0}U$, и после простых преобразований получим
$a = (0,5)^{1/n}$.
Из этого выражения можно вычислить отношение
$\frac{C}{C_{0}} = \frac{a}{1 - a}$.
Для приведенных в задаче чисел $n = 8$ и $n = 9$ получим отношения емкостей 11,05 и 12,5. Истинное значение ближе к 11,05 - простая пропорция дает для отношения емкостей конденсаторов $C/C_{0} = 11,5$ и емкость $C = 115 мкФ$. При расчетах мы пренебрегли саморазрядом конденсаторов в процессе измерений (для обычных электролитических конденсаторов таких емкостей саморазряд может оказаться очень существенным), более точное вычисление неизвестной емкости при этом неоправданно.
