Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13057
2020-02-10 
На гладкой горизонтальной плоскости находится клин массой $M$ с углом $\alpha$ при основании. На клине удерживают неподвижно тонкий обруч массой $m$. Трение между обручем и поверхностью клина велико. Обруч отпускают, и он начинает двигаться по клину без проскальзывания. Найдите скорость клина в тот момент, когда центр обруча опустится на $h$.
Решение:
Обозначим скорость клина $v$, скорость центра обруча относительно клина $u$ (см. рисунок). Движение обруча происходит без проскальзывания (трение по условию велико), угловая скорость вращения обруча определяется относительным движением, поэтому "добавка" к кинетической энергии за счет вращения составит $0,5mu^{2}$. Для решения воспользуемся законом сохранения импульса (по горизонтали):
$m (u \cos \alpha - v) = Mv$,
откуда
$u = \frac{v(n + 1)}{ \cos \alpha}$, где $n = \frac{M}{m}$,
и законом сохранения механической энергии (проскальзывания нет - нет и выделения тепла):
$\frac{1}{2} m ((u \cos \alpha - v)^{2} + (u \sin \alpha )^{2} ) + \frac{1}{2} mu^{2} + \frac{1}{2} Mv^{2} = \frac{1}{2} m (u^{2} - 2uv \cos \alpha + v^{2} ) + \frac{1}{2} mu^{2} + \frac{1}{2} Mv^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} (1 + n) \left ( \frac{2 (1 + n)}{ \cos^{2} \alpha } - 1 \right ) = mgh$.
Отсюда получаем
$v = \sqrt{ \frac{2 gh}{ \left ( 1 + \frac{M}{m} \right ) \left ( \frac{2 \left ( 1 + \frac{M}{m} \right ) }{ \cos^{2} \alpha } - 1 \right ) }}$.
На гладкой горизонтальной плоскости находится клин массой $M$ с углом $\alpha$ при основании. На клине удерживают неподвижно тонкий обруч массой $m$. Трение между обручем и поверхностью клина велико. Обруч отпускают, и он начинает двигаться по клину без проскальзывания. Найдите скорость клина в тот момент, когда центр обруча опустится на $h$.
Решение:
Обозначим скорость клина $v$, скорость центра обруча относительно клина $u$ (см. рисунок). Движение обруча происходит без проскальзывания (трение по условию велико), угловая скорость вращения обруча определяется относительным движением, поэтому "добавка" к кинетической энергии за счет вращения составит $0,5mu^{2}$. Для решения воспользуемся законом сохранения импульса (по горизонтали):
$m (u \cos \alpha - v) = Mv$,
откуда
$u = \frac{v(n + 1)}{ \cos \alpha}$, где $n = \frac{M}{m}$,
и законом сохранения механической энергии (проскальзывания нет - нет и выделения тепла):
$\frac{1}{2} m ((u \cos \alpha - v)^{2} + (u \sin \alpha )^{2} ) + \frac{1}{2} mu^{2} + \frac{1}{2} Mv^{2} = \frac{1}{2} m (u^{2} - 2uv \cos \alpha + v^{2} ) + \frac{1}{2} mu^{2} + \frac{1}{2} Mv^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} (1 + n) \left ( \frac{2 (1 + n)}{ \cos^{2} \alpha } - 1 \right ) = mgh$.
Отсюда получаем
$v = \sqrt{ \frac{2 gh}{ \left ( 1 + \frac{M}{m} \right ) \left ( \frac{2 \left ( 1 + \frac{M}{m} \right ) }{ \cos^{2} \alpha } - 1 \right ) }}$.
