Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13050
2020-02-10 
На тороидальный сердечник, сделанный из материала с очень большой магнитной проницаемостью, намотаны очень тонким проводом две катушки - с числом витков 500 и 510. При измерении индуктивности первой из катушек на постоянном токе - по значению магнитного потока катушки при заданном токе через нее - получили величину 20 Гн. Какова индуктивность второй катушки? Какая индуктивность получится при последовательном соединении катушек? При параллельном соединении? Выводы катушек сделаны проводом большого сечения. Рассеяние магнитного потока считать малым.
Решение:
Измерять индуктивность на постоянном токе можно несколькими способами. Самый распространенный способ - задать ток через катушку, а потом измерить ее магнитный поток по отбросу стрелки подключенного к ней баллистического гальванометра при отключении катушки от внешней цепи. (Для катушки с большой индуктивностью гальванометр не подходит, нужно применять куда более грубый прибор, но именно в баллистическом режиме - когда ток через прибор практически перестает течь, а стрелка только начинает отклоняться и продолжает делать это по инерции.) Можно также задать ток через катушку, а потом, размыкая внешнюю цепь, при помощи диода перекачать ее энергию в конденсатор известной емкости и измерить его напряжение (или заряд). В общем, сделать это можно.
Вернемся к задаче. Для магнитного потока одной катушки поле в сердечнике $B \sim In$, где $I$ - ток, а $n$ - число витков, а магнитный поток через все витки катушки $\Phi = BSn \sim In^{2}$, где $S$ - сечение сердечника. Тогда индуктивность первой катушки равна $L_{1} = kn_{1}^{2}$, откуда $k = 20 Гн/500^{2} = 8 \cdot 10{-5} Гн$. Соответственно, индуктивность второй катушки равна
$L_{2} = kn_{2}^{2} = 20,8 Гн$.
При соединении катушек существенно направление токов через них - переключая выводы одной из катушек наоборот, мы изменяем направление поля, создаваемого витками этой катушки, и изменяем знак магнитного потока, пронизывающего эту катушку. Пусть при последовательном соединении катушек витки второй как бы являются продолжением витков первой - поля и потоки при этом складываются: $B = B_{1} + B_{2} \sim I(n_{1} + n_{2}), \Phi \sim I(n_{1} + n_{2})^{2}$, а общая индуктивность равна
$L_{3} = k(n_{1} + n_{2})^{2} = 81,6 Гн$.
При противоположном включении катушек поля вычитаются, остается только поле 510 - 500 = 10 витков. Потоки полей частично компенсируются, и остается поток только через 10 витков. Значит, индуктивность будет равна
$L_{4} = k(n_{1} - n_{2})^{2} = 8 \cdot 10^{-3} Гн$.
Для параллельного подключения все намного сложнее - токи распределяются обратно пропорционально сопротивлениям обмоток (не сразу, нужно подождать установления), а они в наших условиях пропорциональны числам витков катушек. Для случая противоположного включения обмоток получается нулевое суммарное поле, поля катушек в точности компенсируют друг друга, и индуктивность оказывается нулевой. При "согласном" подключении обмоток поля обмоток одинаковы и складываются. А вот поток нужно считать только через одну обмотку (это станет особенно ясным, если рассмотреть две одинаковые обмотки, - индуктивность в этом случае получается такая же, как для одной обмотки). В результате мы получим индуктивность чуть больше 20 Гн.
На тороидальный сердечник, сделанный из материала с очень большой магнитной проницаемостью, намотаны очень тонким проводом две катушки - с числом витков 500 и 510. При измерении индуктивности первой из катушек на постоянном токе - по значению магнитного потока катушки при заданном токе через нее - получили величину 20 Гн. Какова индуктивность второй катушки? Какая индуктивность получится при последовательном соединении катушек? При параллельном соединении? Выводы катушек сделаны проводом большого сечения. Рассеяние магнитного потока считать малым.
Решение:
Измерять индуктивность на постоянном токе можно несколькими способами. Самый распространенный способ - задать ток через катушку, а потом измерить ее магнитный поток по отбросу стрелки подключенного к ней баллистического гальванометра при отключении катушки от внешней цепи. (Для катушки с большой индуктивностью гальванометр не подходит, нужно применять куда более грубый прибор, но именно в баллистическом режиме - когда ток через прибор практически перестает течь, а стрелка только начинает отклоняться и продолжает делать это по инерции.) Можно также задать ток через катушку, а потом, размыкая внешнюю цепь, при помощи диода перекачать ее энергию в конденсатор известной емкости и измерить его напряжение (или заряд). В общем, сделать это можно.
Вернемся к задаче. Для магнитного потока одной катушки поле в сердечнике $B \sim In$, где $I$ - ток, а $n$ - число витков, а магнитный поток через все витки катушки $\Phi = BSn \sim In^{2}$, где $S$ - сечение сердечника. Тогда индуктивность первой катушки равна $L_{1} = kn_{1}^{2}$, откуда $k = 20 Гн/500^{2} = 8 \cdot 10{-5} Гн$. Соответственно, индуктивность второй катушки равна
$L_{2} = kn_{2}^{2} = 20,8 Гн$.
При соединении катушек существенно направление токов через них - переключая выводы одной из катушек наоборот, мы изменяем направление поля, создаваемого витками этой катушки, и изменяем знак магнитного потока, пронизывающего эту катушку. Пусть при последовательном соединении катушек витки второй как бы являются продолжением витков первой - поля и потоки при этом складываются: $B = B_{1} + B_{2} \sim I(n_{1} + n_{2}), \Phi \sim I(n_{1} + n_{2})^{2}$, а общая индуктивность равна
$L_{3} = k(n_{1} + n_{2})^{2} = 81,6 Гн$.
При противоположном включении катушек поля вычитаются, остается только поле 510 - 500 = 10 витков. Потоки полей частично компенсируются, и остается поток только через 10 витков. Значит, индуктивность будет равна
$L_{4} = k(n_{1} - n_{2})^{2} = 8 \cdot 10^{-3} Гн$.
Для параллельного подключения все намного сложнее - токи распределяются обратно пропорционально сопротивлениям обмоток (не сразу, нужно подождать установления), а они в наших условиях пропорциональны числам витков катушек. Для случая противоположного включения обмоток получается нулевое суммарное поле, поля катушек в точности компенсируют друг друга, и индуктивность оказывается нулевой. При "согласном" подключении обмоток поля обмоток одинаковы и складываются. А вот поток нужно считать только через одну обмотку (это станет особенно ясным, если рассмотреть две одинаковые обмотки, - индуктивность в этом случае получается такая же, как для одной обмотки). В результате мы получим индуктивность чуть больше 20 Гн.
