Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1305
2016-10-21 
На тороидальном сердечнике трансформатора симметрично расположены три одинаковые обмотки. Одну из обмоток подключили к источнику переменного напряжения, вторую оставили разомкнутой, а к третьей подключили вольтметр (см. рисунок). Оказалось, что вольтметр показывает половину напряжения источника. Что он покажет, если вторую обмотку замкнуть накоротко? Считайте сопротивления обмоток пренебрежимо малыми, вольтметр и источник — идеальными, магнитную проницаемость сердечника — не зависящей от величины магнитной индукции.
Решение:
При разомкнутой второй обмотке магнитное поле в сердечнике создаётся только первой обмоткой, подключённой к источнику переменного напряжения. Магнитный поток в первой обмотке равен $|phi_{1} = LI_{1}$, где $I_{1}$ — ток в первой обмотке, $L$ — индуктивность обмотки (у всех трёх обмоток она одинаковая). Очевидно, что магнитный поток через третью обмотку также пропорционален току $I_{1}$, то есть $\Phi_{3} \sim I_{1}$, или $\Phi_{3} = MI_{1}$, где $M$ — коэффициент, который называется взаимной индуктивностью обмоток (для каждой пары обмоток он одинаков). Так как сопротивления обмоток пренебрежимо малы, то напряжения на них равны наводимым в них ЭДС индукции. Тогда, с учётом закона электромагнитной индукции Фарадея, для отношения напряжений на третьей и первой обмотках получаем:
$\frac{U_{3}}{U_{1}} = \frac{ - \Delta \Phi_{3}/ \Delta t}{ - \Delta \Phi_{1} / \Delta t} = \frac{ \Delta \Phi_{3}}{ \Delta \Phi_{1}} = \frac{M \Delta I_{1}}{L \Delta I_{1}} = \frac{M}{L} = \frac{1}{2}$.
При замкнутой накоротко второй обмотке токи текут и в первой, и во второй обмотках. Эти токи создают в первой, второй и третьей обмотках магнитные потоки $\Phi_{1}^{*}, \Phi_{2}^{*}$ и $\Phi_{3}^{*}$, соответственно. Для них можно записать:
$\Phi_{1}^{*} = LI_{1}^{*} + MI_{2}^{*}, \Phi_{2}^{*} = MI_{1}^{*} + LI_{2}^{*}, \Phi_{3}^{*} = MI_{1}^{*} + MI_{2}^{*}$,
где $I_{1}^{*}$ и $I_{2}^{*}$ — токи, текущие в первой и второй обмотках при корот-козамкнутой второй обмотке. Заметим, что ЭДС индукции, наводимая во второй обмотке, равна нулю, так как она замкнута накоротко, а её сопротивление пренебрежимо мало. Следовательно, и магнитный поток через вторую обмотку также равен нулю: $\Phi_{2}^{*} = MI_{1}^{*} + LI_{2}^{*} = 0$, откуда $I_{2}^{*} = - \frac{M}{L}I_{1}^{*}$. Поэтому для отношения напряжений на третьей и первой обмотках после закорачивания второй обмотки получаем:
$\frac{U_{3}^{*}}{U_{1}^{*}} = \frac{ - \Delta \Phi_{3}^{*}/ \Delta t}{ - \Delta \Phi_{1}^{*}/ \Delta t} = \frac{ \Delta \Phi_{3}^{*}}{ \Delta \Phi_{1}^{*}} = \frac{M \Delta I_{1}^{*} + M \Delta I_{2}^{*}}{L \Delta I_{1}^{*} + M \Delta I_{2}^{*}} = \frac{M \Delta I_{1}^{*} - M \cdot (M/L) \Delta I_{1}^{*}}{L \Delta I_{1}^{*} - M \cdot (M/L) \Delta I_{1}^{*}} = \frac{M}{L} \cdot \frac{1-M/L}{1 - (M/L)^{2}} = \frac{1}{3}$.
Так как первая обмотка подключена к источнику напряжения, то $U_{1} = U_{1}^{*}$. Следовательно, если вторую обмотку замкнуть накоротко, то вольтметр покажет одну треть от напряжения источника.
На тороидальном сердечнике трансформатора симметрично расположены три одинаковые обмотки. Одну из обмоток подключили к источнику переменного напряжения, вторую оставили разомкнутой, а к третьей подключили вольтметр (см. рисунок). Оказалось, что вольтметр показывает половину напряжения источника. Что он покажет, если вторую обмотку замкнуть накоротко? Считайте сопротивления обмоток пренебрежимо малыми, вольтметр и источник — идеальными, магнитную проницаемость сердечника — не зависящей от величины магнитной индукции.
Решение:
При разомкнутой второй обмотке магнитное поле в сердечнике создаётся только первой обмоткой, подключённой к источнику переменного напряжения. Магнитный поток в первой обмотке равен $|phi_{1} = LI_{1}$, где $I_{1}$ — ток в первой обмотке, $L$ — индуктивность обмотки (у всех трёх обмоток она одинаковая). Очевидно, что магнитный поток через третью обмотку также пропорционален току $I_{1}$, то есть $\Phi_{3} \sim I_{1}$, или $\Phi_{3} = MI_{1}$, где $M$ — коэффициент, который называется взаимной индуктивностью обмоток (для каждой пары обмоток он одинаков). Так как сопротивления обмоток пренебрежимо малы, то напряжения на них равны наводимым в них ЭДС индукции. Тогда, с учётом закона электромагнитной индукции Фарадея, для отношения напряжений на третьей и первой обмотках получаем:
$\frac{U_{3}}{U_{1}} = \frac{ - \Delta \Phi_{3}/ \Delta t}{ - \Delta \Phi_{1} / \Delta t} = \frac{ \Delta \Phi_{3}}{ \Delta \Phi_{1}} = \frac{M \Delta I_{1}}{L \Delta I_{1}} = \frac{M}{L} = \frac{1}{2}$.
При замкнутой накоротко второй обмотке токи текут и в первой, и во второй обмотках. Эти токи создают в первой, второй и третьей обмотках магнитные потоки $\Phi_{1}^{*}, \Phi_{2}^{*}$ и $\Phi_{3}^{*}$, соответственно. Для них можно записать:
$\Phi_{1}^{*} = LI_{1}^{*} + MI_{2}^{*}, \Phi_{2}^{*} = MI_{1}^{*} + LI_{2}^{*}, \Phi_{3}^{*} = MI_{1}^{*} + MI_{2}^{*}$,
где $I_{1}^{*}$ и $I_{2}^{*}$ — токи, текущие в первой и второй обмотках при корот-козамкнутой второй обмотке. Заметим, что ЭДС индукции, наводимая во второй обмотке, равна нулю, так как она замкнута накоротко, а её сопротивление пренебрежимо мало. Следовательно, и магнитный поток через вторую обмотку также равен нулю: $\Phi_{2}^{*} = MI_{1}^{*} + LI_{2}^{*} = 0$, откуда $I_{2}^{*} = - \frac{M}{L}I_{1}^{*}$. Поэтому для отношения напряжений на третьей и первой обмотках после закорачивания второй обмотки получаем:
$\frac{U_{3}^{*}}{U_{1}^{*}} = \frac{ - \Delta \Phi_{3}^{*}/ \Delta t}{ - \Delta \Phi_{1}^{*}/ \Delta t} = \frac{ \Delta \Phi_{3}^{*}}{ \Delta \Phi_{1}^{*}} = \frac{M \Delta I_{1}^{*} + M \Delta I_{2}^{*}}{L \Delta I_{1}^{*} + M \Delta I_{2}^{*}} = \frac{M \Delta I_{1}^{*} - M \cdot (M/L) \Delta I_{1}^{*}}{L \Delta I_{1}^{*} - M \cdot (M/L) \Delta I_{1}^{*}} = \frac{M}{L} \cdot \frac{1-M/L}{1 - (M/L)^{2}} = \frac{1}{3}$.
Так как первая обмотка подключена к источнику напряжения, то $U_{1} = U_{1}^{*}$. Следовательно, если вторую обмотку замкнуть накоротко, то вольтметр покажет одну треть от напряжения источника.
