Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13045
2020-02-10 
Траектория точки состоит из отрезка прямой АБ длиной $L$ и полуокружности БВ радиусом $R$, причем прямая касается окружности (см. рисунок). За какое минимальное время точка проедет из А в В? Начальная скорость равна нулю, а ускорение все время постоянно по величине и равно $a$.
Решение:
Скорость движения точки по окружности при заданных в условии ограничениях не может превышать $v_{m} = \sqrt{aR}$. Следовательно, к моменту перехода на окружность необходимо иметь именно такую скорость (больше нельзя - не удержаться на окружности, а меньше - нет смысла). Для разгона по прямой от нуля до этой скорости нужно пройти путь $L_{0} = \frac{v_{m}^{2}}{2a} = \frac{R}{2}$. Если $L < L_{0}$, то задача сильно усложняется - придется "доразгоняться" на окружности, а там касательная составляющая ускорения уже не постоянна. При $L > L_{0}$ все довольно просто - нужно разогнаться до максимально возможной скорости, а затем начать торможение и к концу отрезка АБ снизить скорость до $v_{m} = \sqrt{aR}$. Обозначим время дополнительного разгона через $t$ (столько же займет и торможение). Тогда для этого времени $t$ получим уравнение
$\frac{1}{2} (L - L_{0} ) = v_{m}t + \frac{1}{2}at^{2}$,
откуда
$t = \sqrt{ \frac{L + \frac{R}{2} }{a} } - \sqrt{ \frac{R}{a} }$.
Теперь легко найти полное минимальное время движения:
$T = \frac{L_{0} }{ \frac{v_{m} }{2} } + 2t + \frac{ \pi R}{v_{m} } = ( \pi - 1) \sqrt{ \frac{R}{a} } + 2 \sqrt{ \frac{L + \frac{L}{2} }{a} }$.
Траектория точки состоит из отрезка прямой АБ длиной $L$ и полуокружности БВ радиусом $R$, причем прямая касается окружности (см. рисунок). За какое минимальное время точка проедет из А в В? Начальная скорость равна нулю, а ускорение все время постоянно по величине и равно $a$.
Решение:
Скорость движения точки по окружности при заданных в условии ограничениях не может превышать $v_{m} = \sqrt{aR}$. Следовательно, к моменту перехода на окружность необходимо иметь именно такую скорость (больше нельзя - не удержаться на окружности, а меньше - нет смысла). Для разгона по прямой от нуля до этой скорости нужно пройти путь $L_{0} = \frac{v_{m}^{2}}{2a} = \frac{R}{2}$. Если $L < L_{0}$, то задача сильно усложняется - придется "доразгоняться" на окружности, а там касательная составляющая ускорения уже не постоянна. При $L > L_{0}$ все довольно просто - нужно разогнаться до максимально возможной скорости, а затем начать торможение и к концу отрезка АБ снизить скорость до $v_{m} = \sqrt{aR}$. Обозначим время дополнительного разгона через $t$ (столько же займет и торможение). Тогда для этого времени $t$ получим уравнение
$\frac{1}{2} (L - L_{0} ) = v_{m}t + \frac{1}{2}at^{2}$,
откуда
$t = \sqrt{ \frac{L + \frac{R}{2} }{a} } - \sqrt{ \frac{R}{a} }$.
Теперь легко найти полное минимальное время движения:
$T = \frac{L_{0} }{ \frac{v_{m} }{2} } + 2t + \frac{ \pi R}{v_{m} } = ( \pi - 1) \sqrt{ \frac{R}{a} } + 2 \sqrt{ \frac{L + \frac{L}{2} }{a} }$.
