Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1304
2016-10-21 
Начинающий радиолюбитель приобрёл паяльник, на котором было написано: «36 В, 40 Вт». Посоветовавшись по телефону с приятелями, он выяснил, что в сеть 220 В, 50 Гц этот паяльник можно включить либо через трансформатор 220/36 В, либо через подходящий конденсатор. Рассчитав ёмкость конденсатора, он приобрёл на всякий случай и нужный конденсатор, и трансформатор. Затем он собрал схему, приведённую на рисунке, и обнаружил, что паяльник работает нормально. Для контроля за работой схемы он установил три амперметра, показывающих эффективное значение тока. Каковы показания этих амперметров?
Решение:
Так как паяльник работает нормально, то амперметр $A_{3}$ показывает эффективное значение тока $I_{3эфф} = \frac{40 Вт}{30 В} \approx 1,11 А$. Для нахождения показаний амперметров $A_{1}$ и $A_{2}$ следует заметить, что первичная и вторичная обмотки трансформатора включены параллельно, и поэтому напряжения $U_{1}$ и $U_{2}$ на обеих обмотках одинаковы. Напряжение на каждой из обмоток пропорционально числу витков $N_{1}$ и $N_{2}$ в соответствующей обмотке и скорости изменения магнитного потока через один виток. Так как сердечник трансформатора замкнут, то магнитный поток $\Phi$ одинаков для всех витков. Учитывая всё сказанное, можно записать:
$U_{1} = N_{1} \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t} = U_{2} = N_{2} \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t}$.
Так как трансформатор является понижающим, то количество витков в обмотках разное. Следовательно, записанное равенство может выполняться только в том случае, когда $\frac{ \Delta \phi}{ \Delta t} = 0$. Это означает, что магнитное поле внутри сердечника равно нулю, то есть поле, создаваемое током, текущим по одной обмотке, компенсируется полем, создаваемым током, текущим по второй обмотке. Магнитное поле внутри каждой из обмоток пропорционально току, текущему через обмотку, и числу витков в ней. Поэтому должно выполняться одно из двух соотношений между мгновенными значениями токов $I_{1}$ и $I_{2}$ и числами витков $N_{1}$ и $N_{2}$ в обмотках:
$N_{1}I_{1} + N_{2}I_{2} = 0$ или $N_{1}I_{1} - N_{2}I_{2} = 0$.
Первое соотношение соответствует способу включения витков, при котором токи $I_{1}$ и $I_{2}$ текут навстречу друг другу, а второе — способу включения, при котором токи текут в одну сторону. При этом всегда выполняется равенство
$I_{1} + I_{2} = I_{3}$.
Решая совместно эти уравнения и учитывая, что $\frac{N_{1}}{N_{2}} = \frac{220 В}{36 В} \approx 6,11$, получим для эффективных значений токов $I_{эфф} = \sqrt{ \langle I^{2} \rangle }$
через амперметры $A_{1}$ и $A_{2}$ два возможных набора, соответствующие различным способам включения обмоток:
$I_{1эфф} = \frac{I_{3эфф}}{|1 - (N_{1}/N_{2})|} \approx 0,22 А, I_{2эфф} = \frac{N_{1}}{N_{2}} \cdot \frac{I_{3эфф}}{(N_{1}/N_{2} - 1)} \approx 1,33 А$
(первый способ включения);
$I_{1эфф} = \frac{I_{3эфф}}{|1 + (N_{1}/N_{2})|} \approx 0,156 А, I_{2эфф} = \frac{N_{1}}{N_{2}} \cdot \frac{I_{3эфф}}{1 + (N_{1}/N_{2})} \approx 0,955 А$
(второй способ включения).
В заключение отметим, что трансформатор, включённый таким образом, как описано в условии задачи, не оказывает никакого влияния на работу паяльника. Паяльник работает нормально благодаря конденсатору.
Начинающий радиолюбитель приобрёл паяльник, на котором было написано: «36 В, 40 Вт». Посоветовавшись по телефону с приятелями, он выяснил, что в сеть 220 В, 50 Гц этот паяльник можно включить либо через трансформатор 220/36 В, либо через подходящий конденсатор. Рассчитав ёмкость конденсатора, он приобрёл на всякий случай и нужный конденсатор, и трансформатор. Затем он собрал схему, приведённую на рисунке, и обнаружил, что паяльник работает нормально. Для контроля за работой схемы он установил три амперметра, показывающих эффективное значение тока. Каковы показания этих амперметров?
Решение:
Так как паяльник работает нормально, то амперметр $A_{3}$ показывает эффективное значение тока $I_{3эфф} = \frac{40 Вт}{30 В} \approx 1,11 А$. Для нахождения показаний амперметров $A_{1}$ и $A_{2}$ следует заметить, что первичная и вторичная обмотки трансформатора включены параллельно, и поэтому напряжения $U_{1}$ и $U_{2}$ на обеих обмотках одинаковы. Напряжение на каждой из обмоток пропорционально числу витков $N_{1}$ и $N_{2}$ в соответствующей обмотке и скорости изменения магнитного потока через один виток. Так как сердечник трансформатора замкнут, то магнитный поток $\Phi$ одинаков для всех витков. Учитывая всё сказанное, можно записать:
$U_{1} = N_{1} \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t} = U_{2} = N_{2} \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t}$.
Так как трансформатор является понижающим, то количество витков в обмотках разное. Следовательно, записанное равенство может выполняться только в том случае, когда $\frac{ \Delta \phi}{ \Delta t} = 0$. Это означает, что магнитное поле внутри сердечника равно нулю, то есть поле, создаваемое током, текущим по одной обмотке, компенсируется полем, создаваемым током, текущим по второй обмотке. Магнитное поле внутри каждой из обмоток пропорционально току, текущему через обмотку, и числу витков в ней. Поэтому должно выполняться одно из двух соотношений между мгновенными значениями токов $I_{1}$ и $I_{2}$ и числами витков $N_{1}$ и $N_{2}$ в обмотках:
$N_{1}I_{1} + N_{2}I_{2} = 0$ или $N_{1}I_{1} - N_{2}I_{2} = 0$.
Первое соотношение соответствует способу включения витков, при котором токи $I_{1}$ и $I_{2}$ текут навстречу друг другу, а второе — способу включения, при котором токи текут в одну сторону. При этом всегда выполняется равенство
$I_{1} + I_{2} = I_{3}$.
Решая совместно эти уравнения и учитывая, что $\frac{N_{1}}{N_{2}} = \frac{220 В}{36 В} \approx 6,11$, получим для эффективных значений токов $I_{эфф} = \sqrt{ \langle I^{2} \rangle }$
через амперметры $A_{1}$ и $A_{2}$ два возможных набора, соответствующие различным способам включения обмоток:
$I_{1эфф} = \frac{I_{3эфф}}{|1 - (N_{1}/N_{2})|} \approx 0,22 А, I_{2эфф} = \frac{N_{1}}{N_{2}} \cdot \frac{I_{3эфф}}{(N_{1}/N_{2} - 1)} \approx 1,33 А$
(первый способ включения);
$I_{1эфф} = \frac{I_{3эфф}}{|1 + (N_{1}/N_{2})|} \approx 0,156 А, I_{2эфф} = \frac{N_{1}}{N_{2}} \cdot \frac{I_{3эфф}}{1 + (N_{1}/N_{2})} \approx 0,955 А$
(второй способ включения).
В заключение отметим, что трансформатор, включённый таким образом, как описано в условии задачи, не оказывает никакого влияния на работу паяльника. Паяльник работает нормально благодаря конденсатору.
