Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13031
2020-02-10 
Плоская световая волна, ее длина волны 0,55 мкм соответствует зеленому цвету, падает перпендикулярно на плоский непрозрачный экран, в котором проделано круглое отверстие. На расстоянии 0,2 м находится лист бумаги, расположенный параллельно экрану. При каком диаметре отверстия будет максимальной освещенность в самой близкой к центру отверстия точке листа бумаги? При каком диаметре отверстия будет максимальной освещенность этой точки одновременно для длин волн 0,4 мкм и 0,7 мкм?
Решение:
Если понемногу увеличивать радиус отверстия $r$, начиная с очень малых значений, то освещенность в самой близкой к центру отверстия точке листа - точке А - сначала будет увеличиваться. Однако начиная с некоторого значения $r_{1}$ увеличение освещенности прекратится - это произойдет в тот момент, когда разность хода лучей будет равна половине длины волны света (см. рисунок):
$BA - OA = \frac{ \lambda }{2}$, т.е. $\sqrt{ r_{1}^{2} + L^{2}} - L = \frac{ \lambda}{2}$, или $L \sqrt{1 + \frac{r_{1}^{2} }{L^{2} } } - L = \frac{ \lambda }{2}$.
Учитывая, что $r_{1} \ll L$, получим
$\frac{r_{1}^{2} }{2L^{2} } = \frac{ \lambda }{2}$, и $r_{1} = \sqrt{ \lambda L } \approx 0,33 мм$.
При дальнейшем увеличении радиуса отверстия освещенность будет падать, потом снова расти, и т.д. В общем, $n$-й максимум наступает при радиусе отверстия
$r_{n} = \sqrt{ \lambda L(2n +1)}$.
Теперь нужно подобрать такой радиус отверстия $r$, чтобы получить условие максимума для двух длин волн: 0,4 мкм и 0,7 мкм (очевидно - за счет разных номеров максимумов). Дело облегчается тем, что радиус можно брать довольно грубо приближенным - близкие к $r_{n}$ части отверстия почти ничего не прибавляют к освещенности.
Итак,
$\sqrt{ \lambda_{1}L(2n_{1} + 1 )} \approx \sqrt{ \lambda_{2}L(2n_{2} + 1 ) }$,
или
$0,4(2n_{1} + 1) = 0,7(2n_{2} + 1)$.
Например,
$0,4 \cdot 5 = 2 = 0,7 \cdot 3 = 2,1$.
Тогда
$r_{ \lambda_{1} } = \sqrt{0,4 \cdot 10^{-6} \cdot 0,2 \cdot 5} м \approx 0,63 мм$,
$r_{ \lambda_{2} } = \sqrt{0,7 \cdot 10^{-6} \cdot 0,2 \cdot 3} м \approx 0,65 мм$,
т.е.
$r \approx 0,64 мм$.
Разумеется, искомые диаметры будут в 2 раза превышать найденные радиусы.
Плоская световая волна, ее длина волны 0,55 мкм соответствует зеленому цвету, падает перпендикулярно на плоский непрозрачный экран, в котором проделано круглое отверстие. На расстоянии 0,2 м находится лист бумаги, расположенный параллельно экрану. При каком диаметре отверстия будет максимальной освещенность в самой близкой к центру отверстия точке листа бумаги? При каком диаметре отверстия будет максимальной освещенность этой точки одновременно для длин волн 0,4 мкм и 0,7 мкм?
Решение:
Если понемногу увеличивать радиус отверстия $r$, начиная с очень малых значений, то освещенность в самой близкой к центру отверстия точке листа - точке А - сначала будет увеличиваться. Однако начиная с некоторого значения $r_{1}$ увеличение освещенности прекратится - это произойдет в тот момент, когда разность хода лучей будет равна половине длины волны света (см. рисунок):
$BA - OA = \frac{ \lambda }{2}$, т.е. $\sqrt{ r_{1}^{2} + L^{2}} - L = \frac{ \lambda}{2}$, или $L \sqrt{1 + \frac{r_{1}^{2} }{L^{2} } } - L = \frac{ \lambda }{2}$.
Учитывая, что $r_{1} \ll L$, получим
$\frac{r_{1}^{2} }{2L^{2} } = \frac{ \lambda }{2}$, и $r_{1} = \sqrt{ \lambda L } \approx 0,33 мм$.
При дальнейшем увеличении радиуса отверстия освещенность будет падать, потом снова расти, и т.д. В общем, $n$-й максимум наступает при радиусе отверстия
$r_{n} = \sqrt{ \lambda L(2n +1)}$.
Теперь нужно подобрать такой радиус отверстия $r$, чтобы получить условие максимума для двух длин волн: 0,4 мкм и 0,7 мкм (очевидно - за счет разных номеров максимумов). Дело облегчается тем, что радиус можно брать довольно грубо приближенным - близкие к $r_{n}$ части отверстия почти ничего не прибавляют к освещенности.
Итак,
$\sqrt{ \lambda_{1}L(2n_{1} + 1 )} \approx \sqrt{ \lambda_{2}L(2n_{2} + 1 ) }$,
или
$0,4(2n_{1} + 1) = 0,7(2n_{2} + 1)$.
Например,
$0,4 \cdot 5 = 2 = 0,7 \cdot 3 = 2,1$.
Тогда
$r_{ \lambda_{1} } = \sqrt{0,4 \cdot 10^{-6} \cdot 0,2 \cdot 5} м \approx 0,63 мм$,
$r_{ \lambda_{2} } = \sqrt{0,7 \cdot 10^{-6} \cdot 0,2 \cdot 3} м \approx 0,65 мм$,
т.е.
$r \approx 0,64 мм$.
Разумеется, искомые диаметры будут в 2 раза превышать найденные радиусы.
