Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1303
2016-10-21 
Оцените массу спирали электрической лампочки мощностью $N = 100 Вт$, включённой в сеть переменного тока частотой $f = 50 Гц$, если известно, что температура спирали колеблется от $T_{1} = 2500 К$ до $T_{2} = 2800 К$ с частотой 100 Гц. Теплоёмкость вольфрама $C = 132 Дж/(кг \cdot К)$.
Решение:
Температура нити колеблется из-за изменения в течение периода мгновенной тепловой мощности, выделяющейся в спирали при протекании по ней переменного тока.
Для того, чтобы сделать грубую оценку, примем, что в течение четверти периода, то есть в течение времени $1/(4f)$, теплота Джоуля — Ленца в спирали вообще не
выделяется. За это время спираль излучает тепловую энергию $\Delta Q = N \cdot \frac{1}{4f} = 0,5 Дж$, вследствие чего температура спирали понижается. Из
уравнения теплового баланса для спирали лампочки получаем: $Cm(T_{2} - T_{1}) = \Delta Q$. Отсюда $m = \frac{ \Delta Q}{C(T_{2}-T_{1})} = \frac{N}{4fC(T_{2}-T_{1})} \approx 0,013 г$.
Можно получить и более точную оценку. Пусть напряжение на лампе изменяется со временем по закону $U(t) = U_{0} \cos \omega t$, где $\omega = 2 \pi f$ — круговая частота колебаний напряжения. Тогда за малое время $\Delta t$ в спирали выделяется теплота Джоуля — Ленца $\Delta Q = \frac{U_{0}^{2}}{R} \cos^{2} \omega t \cdot \Delta t$, в окружающую среду излучается количество тепла $N \Delta t$. Разность этих двух количеств теплоты идёт на нагревание нити (то есть на увеличение температуры на $\Delta T$; если $\Delta T < 0$, то нить охлаждается). Исходя из уравнения теплового баланса, получаем:
$\left ( \frac{U_{0}^{2}}{R} \cos^{2} \omega t - N \right ) \Delta t = Cm \Delta t$,
откуда
$\frac{U_{0}^{2}}{2R} + \frac{U_{0}^{2}}{2R} \cos 2 \omega t - N = Cm \frac{ \Delta T}{ \Delta t}$.
Усредним правую и левую части полученного уравнения по периоду изменения напряжения $U$. Заметим, что $\langle \cos 2 \omega t \rangle = 0$, так как косинус является периодической функцией, симметричной относительно оси абсцисс, и $\left \langle \frac{ \Delta T}{ \Delta t} \right \rangle = 0$, так как в среднем температура нити лампы постоянна. Поэтому среднее значение тепловой мощности, выделяющейся в спирали при протекании переменного тока, равно $\langle N \rangle = \frac{U_{0}^{2}}{2R} \approx N$. С учётом этого получаем:
$\frac{ \Delta T}{ \Delta t} = \frac{N}{Cm} \cos 2 \omega t$,
откуда
$T = T_{0} + \frac{N}{2 \omega Cm} \sin 2 \omega t$,
где $T_{0} = \frac{T_{1}+T_{2}}{2}$ — среднее значение, вокруг которого колеблется температура спирали $T$. Из полученной зависимости следует, что установившиеся колебания температуры спирали происходят с частотой $f^{ \prime} = \frac{2 \omega}{2 \pi} = 2f = 100 Гц$, как и указано в условии задачи. Диапазон этих температурных колебаний равен $T_{2} - T_{1} = \frac{N}{ \omega Cm}$, откуда для массы спирали находим: $m = \frac{N}{2 \pi fC (T_{2}-T_{1})} \approx 0,008 г$. Заметим, что уточнённая
оценка для $m$ отличается от первоначальной в меньшую сторону примерно в 1,5 раза.
Оцените массу спирали электрической лампочки мощностью $N = 100 Вт$, включённой в сеть переменного тока частотой $f = 50 Гц$, если известно, что температура спирали колеблется от $T_{1} = 2500 К$ до $T_{2} = 2800 К$ с частотой 100 Гц. Теплоёмкость вольфрама $C = 132 Дж/(кг \cdot К)$.
Решение:
Температура нити колеблется из-за изменения в течение периода мгновенной тепловой мощности, выделяющейся в спирали при протекании по ней переменного тока.
Для того, чтобы сделать грубую оценку, примем, что в течение четверти периода, то есть в течение времени $1/(4f)$, теплота Джоуля — Ленца в спирали вообще не
выделяется. За это время спираль излучает тепловую энергию $\Delta Q = N \cdot \frac{1}{4f} = 0,5 Дж$, вследствие чего температура спирали понижается. Из
уравнения теплового баланса для спирали лампочки получаем: $Cm(T_{2} - T_{1}) = \Delta Q$. Отсюда $m = \frac{ \Delta Q}{C(T_{2}-T_{1})} = \frac{N}{4fC(T_{2}-T_{1})} \approx 0,013 г$.
Можно получить и более точную оценку. Пусть напряжение на лампе изменяется со временем по закону $U(t) = U_{0} \cos \omega t$, где $\omega = 2 \pi f$ — круговая частота колебаний напряжения. Тогда за малое время $\Delta t$ в спирали выделяется теплота Джоуля — Ленца $\Delta Q = \frac{U_{0}^{2}}{R} \cos^{2} \omega t \cdot \Delta t$, в окружающую среду излучается количество тепла $N \Delta t$. Разность этих двух количеств теплоты идёт на нагревание нити (то есть на увеличение температуры на $\Delta T$; если $\Delta T < 0$, то нить охлаждается). Исходя из уравнения теплового баланса, получаем:
$\left ( \frac{U_{0}^{2}}{R} \cos^{2} \omega t - N \right ) \Delta t = Cm \Delta t$,
откуда
$\frac{U_{0}^{2}}{2R} + \frac{U_{0}^{2}}{2R} \cos 2 \omega t - N = Cm \frac{ \Delta T}{ \Delta t}$.
Усредним правую и левую части полученного уравнения по периоду изменения напряжения $U$. Заметим, что $\langle \cos 2 \omega t \rangle = 0$, так как косинус является периодической функцией, симметричной относительно оси абсцисс, и $\left \langle \frac{ \Delta T}{ \Delta t} \right \rangle = 0$, так как в среднем температура нити лампы постоянна. Поэтому среднее значение тепловой мощности, выделяющейся в спирали при протекании переменного тока, равно $\langle N \rangle = \frac{U_{0}^{2}}{2R} \approx N$. С учётом этого получаем:
$\frac{ \Delta T}{ \Delta t} = \frac{N}{Cm} \cos 2 \omega t$,
откуда
$T = T_{0} + \frac{N}{2 \omega Cm} \sin 2 \omega t$,
где $T_{0} = \frac{T_{1}+T_{2}}{2}$ — среднее значение, вокруг которого колеблется температура спирали $T$. Из полученной зависимости следует, что установившиеся колебания температуры спирали происходят с частотой $f^{ \prime} = \frac{2 \omega}{2 \pi} = 2f = 100 Гц$, как и указано в условии задачи. Диапазон этих температурных колебаний равен $T_{2} - T_{1} = \frac{N}{ \omega Cm}$, откуда для массы спирали находим: $m = \frac{N}{2 \pi fC (T_{2}-T_{1})} \approx 0,008 г$. Заметим, что уточнённая
оценка для $m$ отличается от первоначальной в меньшую сторону примерно в 1,5 раза.
