Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13029
2020-02-10 
Три одинаковых конденсатора емкостью $C = 1000 мкФ$ каждый, ключ и два резистора сопротивлениями $r = 10 Ом$ и $R = 10 кОм$ собраны в схему, приведенную на рисунке. Один из конденсаторов заряжен до напряжения $U_{0}$. Замкнем ключ. Какое количество теплоты выделится за первую секунду в резисторе сопротивлением $r$? Какое количество теплоты выделится в нем за последующие 100 секунд? Элементы цепи считать идеальными.
Решение:
После замыкания ключа незаряженные вначале конденсаторы быстро (за несколько сотых долей секунды, поскольку так называемая постоянная времени равна $\tau = rC = 0,01 с$) заряжаются до напряжения $U/3$ каждый, через резистор сопротивлением $R$ проходит за это время очень небольшой заряд, и мы им пренебрежем - как будто резистора $R$ вообще нет. Тогда из баланса энергий найдем количество теплоты, выделившееся в резисторе сопротивлением $r$ за первую секунду:
$Q_{1} = \frac{1}{2}CU_{0}^{2} - \left ( \frac{1}{2}C \left ( \frac{2}{3}U_{0} \right )^{2} + 2 \frac{1}{2} C \left ( \frac{1}{3}U_{0} \right )^{2} \right ) = \frac{1}{6} CU_{0}^{2}$.
За следующие 100 секунд конденсатор, к которому подключен резистор сопротивлением $R$, практически полностью разрядится, а первоначальный заряд $CU_{0}$ распределится поровну между оставшимися двумя конденсаторами. Тогда полное выделившееся количество теплоты будет равно
$Q = \frac{1}{3} CU_{0}^{2} - \frac{1}{4} CU_{0}^{2} = \frac{1}{12} CU_{0}^{2}$.
Часть этого тепла выделится в резисторе $R$, остальное - в резисторе $r$. Найдем эти доли. При разряде конденсаторов через резистор $R$ по резистору $r$ течет маленький ток, так что падением напряжения на $r$ можно пренебречь -тогда напряжение на последовательно соединенных конденсаторах $C_{1}$ и $C_{2}$ практически равно напряжению на конденсаторе $C_{3}$. Это означает, что за то время, пока конденсатор $C_{3}$ теряет заряд $q$, конденсаторы $C_{1}$ и $C_{2}$ отдают $q/2$, а через резистор $R$ при этом протекает заряд $3q/2$. Итак, ток через резистор $r$ в любой момент в 3 раза меньше, чем через резистор $R$, поэтому отношение тепловых мощностей равно 1:9000. Таким образом, в резисторе г в течение второго промежутка времени выделится количество теплоты
$Q_{2} = \frac{ \frac{1}{12} CU_{0}^{2}}{9001} = \frac{CU_{0}^{2} }{108000}$.
Три одинаковых конденсатора емкостью $C = 1000 мкФ$ каждый, ключ и два резистора сопротивлениями $r = 10 Ом$ и $R = 10 кОм$ собраны в схему, приведенную на рисунке. Один из конденсаторов заряжен до напряжения $U_{0}$. Замкнем ключ. Какое количество теплоты выделится за первую секунду в резисторе сопротивлением $r$? Какое количество теплоты выделится в нем за последующие 100 секунд? Элементы цепи считать идеальными.
Решение:
После замыкания ключа незаряженные вначале конденсаторы быстро (за несколько сотых долей секунды, поскольку так называемая постоянная времени равна $\tau = rC = 0,01 с$) заряжаются до напряжения $U/3$ каждый, через резистор сопротивлением $R$ проходит за это время очень небольшой заряд, и мы им пренебрежем - как будто резистора $R$ вообще нет. Тогда из баланса энергий найдем количество теплоты, выделившееся в резисторе сопротивлением $r$ за первую секунду:
$Q_{1} = \frac{1}{2}CU_{0}^{2} - \left ( \frac{1}{2}C \left ( \frac{2}{3}U_{0} \right )^{2} + 2 \frac{1}{2} C \left ( \frac{1}{3}U_{0} \right )^{2} \right ) = \frac{1}{6} CU_{0}^{2}$.
За следующие 100 секунд конденсатор, к которому подключен резистор сопротивлением $R$, практически полностью разрядится, а первоначальный заряд $CU_{0}$ распределится поровну между оставшимися двумя конденсаторами. Тогда полное выделившееся количество теплоты будет равно
$Q = \frac{1}{3} CU_{0}^{2} - \frac{1}{4} CU_{0}^{2} = \frac{1}{12} CU_{0}^{2}$.
Часть этого тепла выделится в резисторе $R$, остальное - в резисторе $r$. Найдем эти доли. При разряде конденсаторов через резистор $R$ по резистору $r$ течет маленький ток, так что падением напряжения на $r$ можно пренебречь -тогда напряжение на последовательно соединенных конденсаторах $C_{1}$ и $C_{2}$ практически равно напряжению на конденсаторе $C_{3}$. Это означает, что за то время, пока конденсатор $C_{3}$ теряет заряд $q$, конденсаторы $C_{1}$ и $C_{2}$ отдают $q/2$, а через резистор $R$ при этом протекает заряд $3q/2$. Итак, ток через резистор $r$ в любой момент в 3 раза меньше, чем через резистор $R$, поэтому отношение тепловых мощностей равно 1:9000. Таким образом, в резисторе г в течение второго промежутка времени выделится количество теплоты
$Q_{2} = \frac{ \frac{1}{12} CU_{0}^{2}}{9001} = \frac{CU_{0}^{2} }{108000}$.
