Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13027
2020-02-10 
Два одинаковых точечных заряда $Q$ находятся на расстоянии $d$ друг от друга. Какой потенциал может иметь эквипотенциальная поверхность, если она охватывает оба заряда? Какой потенциал должна иметь такая поверхность, чтобы быть всюду выпуклой?
Решение:
Первый вопрос довольно простой. Ясно, что эквипотенциальные поверхности высокого потенциала (около зарядов) охватывают каждый из зарядов "по отдельности". Критической точкой будет середина отрезка, соединяющего заряды, т.е. точка A (рис.). Потенциал этой точки равен
$\phi_{A} = 2k \frac{Q}{0,5d} = 4k \frac{Q}{d}$.
Поверхности меньшего потенциала должны охватывать оба заряда.
Разберемся теперь со вторым вопросом. Рассмотрим точку Б на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему заряды (рис.). Ясно, что направление поля в точке Б совпадает с направлением этого перпендикуляра. Отойдем теперь на малое расстояние $x$ параллельно линии QQ - в точку В. Если эквипотенциальная поверхность в точке Б выпуклая (точка Б - это "критическая" точка), то потенциал в точке В должен быть меньше, чем в точке Б. Для нахождения "крайней" поверхности эти потенциалы нужно приравнять. В этом случае полная напряженность в точке В должна быть параллельна АБ (и в точках между Б и В тоже). Так будет, если составляющая напряженности вдоль линии QQ не будет зависеть от $x$. Отсюда получаем
$E_{ parallel} = E \cos \alpha = k \frac{Q}{h^{2} + (0,5d + x)^{2} } \frac{0,5d + x}{ \sqrt{h^{2} + (0,5d + x)^{2} } } = const$.
Для малых $x$ (а нас именно такие $x$ и интересуют) выражение можно упростить:
$E_{ \parallel} = \frac{kQ \cdot 0,5d \left ( 1 + \frac{2x}{d} \right )}{ (h^{2} + (0,5d)^{2} )^{3/2} \left ( 1 + \frac{dx}{h^{2} + 0,25d^{2} } \right )^{3/2} } = \frac{kQ \cdot 0,5d}{ (h^{2} + (0,5d)^{2} )^{3/2} } \frac{1 + \frac{2x}{d} }{1 + \frac{1,5dx}{h^{2} + 0,25d^{2} } }$.
Ясно, что для выполнения нашего условия нужно следующее:
$\frac{2}{d} = \frac{1,5d}{h^{2} + 0,25d^{2} }$, или $2h^{2} = d^{2}$.
При этом потенциал выпуклой поверхности будет равен
$\phi_{Б} = 2k \frac{Q}{ \sqrt{h^{2} + \frac{d^{2} }{4} } } = \frac{4k}{ \sqrt{3} } \frac{Q}{d} = \frac{ \phi_{A} }{ \sqrt{3} }$.
Два одинаковых точечных заряда $Q$ находятся на расстоянии $d$ друг от друга. Какой потенциал может иметь эквипотенциальная поверхность, если она охватывает оба заряда? Какой потенциал должна иметь такая поверхность, чтобы быть всюду выпуклой?
Решение:
Первый вопрос довольно простой. Ясно, что эквипотенциальные поверхности высокого потенциала (около зарядов) охватывают каждый из зарядов "по отдельности". Критической точкой будет середина отрезка, соединяющего заряды, т.е. точка A (рис.). Потенциал этой точки равен
$\phi_{A} = 2k \frac{Q}{0,5d} = 4k \frac{Q}{d}$.
Поверхности меньшего потенциала должны охватывать оба заряда.
Разберемся теперь со вторым вопросом. Рассмотрим точку Б на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему заряды (рис.). Ясно, что направление поля в точке Б совпадает с направлением этого перпендикуляра. Отойдем теперь на малое расстояние $x$ параллельно линии QQ - в точку В. Если эквипотенциальная поверхность в точке Б выпуклая (точка Б - это "критическая" точка), то потенциал в точке В должен быть меньше, чем в точке Б. Для нахождения "крайней" поверхности эти потенциалы нужно приравнять. В этом случае полная напряженность в точке В должна быть параллельна АБ (и в точках между Б и В тоже). Так будет, если составляющая напряженности вдоль линии QQ не будет зависеть от $x$. Отсюда получаем
$E_{ parallel} = E \cos \alpha = k \frac{Q}{h^{2} + (0,5d + x)^{2} } \frac{0,5d + x}{ \sqrt{h^{2} + (0,5d + x)^{2} } } = const$.
Для малых $x$ (а нас именно такие $x$ и интересуют) выражение можно упростить:
$E_{ \parallel} = \frac{kQ \cdot 0,5d \left ( 1 + \frac{2x}{d} \right )}{ (h^{2} + (0,5d)^{2} )^{3/2} \left ( 1 + \frac{dx}{h^{2} + 0,25d^{2} } \right )^{3/2} } = \frac{kQ \cdot 0,5d}{ (h^{2} + (0,5d)^{2} )^{3/2} } \frac{1 + \frac{2x}{d} }{1 + \frac{1,5dx}{h^{2} + 0,25d^{2} } }$.
Ясно, что для выполнения нашего условия нужно следующее:
$\frac{2}{d} = \frac{1,5d}{h^{2} + 0,25d^{2} }$, или $2h^{2} = d^{2}$.
При этом потенциал выпуклой поверхности будет равен
$\phi_{Б} = 2k \frac{Q}{ \sqrt{h^{2} + \frac{d^{2} }{4} } } = \frac{4k}{ \sqrt{3} } \frac{Q}{d} = \frac{ \phi_{A} }{ \sqrt{3} }$.
