Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13024
2020-02-10 
В глубоком космосе, вдали от всех тяготеющих масс, находятся три тела малых размеров, массы которых $M, M$ и $3M$. Как они могут двигаться, чтобы расстояния между любыми двумя телами оставались все время постоянными и не превышали, но величине $L$?
Решение:
Из условия видно, что каждое из тел должно вращаться по окружности вокруг общего центра масс, который может двигаться прямолинейно и равномерно (или покоиться). Из симметрии понятно, что тела должны находиться в вершинах равнобедренного треугольника, при этом должны выполняться условия для суммарных сил - их направления "смотрят" в центр масс, а величины соответствуют равномерному вращению каждого из тел. Первое условие для сил выполняется для двух конфигураций тел - равносторонний треугольник и "три тела в линию". Второе условие выполняется только для линейной конфигурации. (Проверьте оба утверждения самостоятельно.)
Итак (см. рисунок): большое тело имеет нулевое ускорение, а для одного из малых тел суммарная сила равна
$F = G \frac{M \cdot 3M}{ \left ( \frac{L}{2} \right )^{2} } + G \frac{M \cdot M}{L^{2} } = 13G \frac{M^{2} }{L^{2} }$.
Тогда из уравнения
$F = M \omega^{2} \frac{L}{2}$
находим частоту вращения:
$\omega = \sqrt{ \frac{26GM}{L^{3} } }$.
В глубоком космосе, вдали от всех тяготеющих масс, находятся три тела малых размеров, массы которых $M, M$ и $3M$. Как они могут двигаться, чтобы расстояния между любыми двумя телами оставались все время постоянными и не превышали, но величине $L$?
Решение:
Из условия видно, что каждое из тел должно вращаться по окружности вокруг общего центра масс, который может двигаться прямолинейно и равномерно (или покоиться). Из симметрии понятно, что тела должны находиться в вершинах равнобедренного треугольника, при этом должны выполняться условия для суммарных сил - их направления "смотрят" в центр масс, а величины соответствуют равномерному вращению каждого из тел. Первое условие для сил выполняется для двух конфигураций тел - равносторонний треугольник и "три тела в линию". Второе условие выполняется только для линейной конфигурации. (Проверьте оба утверждения самостоятельно.)
Итак (см. рисунок): большое тело имеет нулевое ускорение, а для одного из малых тел суммарная сила равна
$F = G \frac{M \cdot 3M}{ \left ( \frac{L}{2} \right )^{2} } + G \frac{M \cdot M}{L^{2} } = 13G \frac{M^{2} }{L^{2} }$.
Тогда из уравнения
$F = M \omega^{2} \frac{L}{2}$
находим частоту вращения:
$\omega = \sqrt{ \frac{26GM}{L^{3} } }$.
