Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13023
2020-02-10 
Две вертикальные параллельные пластины - одна совершенно гладкая, другая очень шероховатая - расположены на расстоянии $D$ друг от друга (см. рисунок). Между ними помещена катушка с внешним диаметром $D$, вся масса $M$ которой сосредоточена в ее оси. Катушка зажата пластинами так, что может двигаться, вниз вращаясь, но, не проскальзывая относительно шероховатой пластины. На внутренний цилиндр катушки диаметром $d$ намотана легкая нить, к которой привязан груз массой $m$. Найдите ускорение этого груза.
Решение:
Проскальзывания в точке контакта с шероховатой платиной нет; следовательно, тепло не выделяется. Тогда можно воспользоваться законом сохранения механической энергии.
Найдем связь между скоростью оси катушки и скоростью груза. Для малого угла $\phi$ поворота катушки (относительно точки касания с шероховатой пластиной) смещение оси катушки составит
$\Delta H = \frac{D}{2} \phi$.
На внутреннюю часть намотается при этом участок нити длиной $\frac{d}{2} \phi$. С учетом такого укорочения нити смещение груза будет равно
$\Delta h = \frac{D}{2} \phi - \frac{d}{2} \phi = \frac{D-d}{2} \phi$.
Видно, что отношение смещений оси катушки и груза получается все время одинаковым - таким же будет отношение их скоростей и ускорений.
Обозначим ускорение оси $a$, тогда ускорение груза будет $a \frac{D - d}{D}$. Будем считать ускорение $a$ постоянным, в этом случае за время $\tau$ от начала движения ось катушки опустится на $\frac{a \tau^{2}}{2}$ и наберет скорость $a \tau$. Для груза, соответственно, смещение будет $a \left (1 - \frac{d}{D} \right ) \frac{ \tau^{2}}{2}$, а скорость $a \left ( 1 - \frac{d}{D} \right ) \tau$. Из энергетических соображений запишем
$Mg \frac{a \tau^{2} }{2} + mg \frac{a \left ( 1 - \frac{d}{D} \right ) \tau^{2} }{2} = \frac{M(a \tau )^{2} }{2} + \frac{m \left ( a \left ( 1 - \frac{d}{D} \right ) \tau \right )^{2} }{2}$.
Отсюда находим ускорение оси катушки:
$a = g \frac{M + m \left ( 1 - \frac{d}{D} \right ) }{M + m \left ( 1 - \frac{d}{D} \right )^{2} }$
и ускорение груза:
$a_{гр} = g \left ( 1 - \frac{d}{D} \right ) \frac{M + m \left ( 1 - \frac{d}{D} \right ) }{M + m \left ( 1 - \frac{d}{D} \right )^{2} }$.
Две вертикальные параллельные пластины - одна совершенно гладкая, другая очень шероховатая - расположены на расстоянии $D$ друг от друга (см. рисунок). Между ними помещена катушка с внешним диаметром $D$, вся масса $M$ которой сосредоточена в ее оси. Катушка зажата пластинами так, что может двигаться, вниз вращаясь, но, не проскальзывая относительно шероховатой пластины. На внутренний цилиндр катушки диаметром $d$ намотана легкая нить, к которой привязан груз массой $m$. Найдите ускорение этого груза.
Решение:
Проскальзывания в точке контакта с шероховатой платиной нет; следовательно, тепло не выделяется. Тогда можно воспользоваться законом сохранения механической энергии.
Найдем связь между скоростью оси катушки и скоростью груза. Для малого угла $\phi$ поворота катушки (относительно точки касания с шероховатой пластиной) смещение оси катушки составит
$\Delta H = \frac{D}{2} \phi$.
На внутреннюю часть намотается при этом участок нити длиной $\frac{d}{2} \phi$. С учетом такого укорочения нити смещение груза будет равно
$\Delta h = \frac{D}{2} \phi - \frac{d}{2} \phi = \frac{D-d}{2} \phi$.
Видно, что отношение смещений оси катушки и груза получается все время одинаковым - таким же будет отношение их скоростей и ускорений.
Обозначим ускорение оси $a$, тогда ускорение груза будет $a \frac{D - d}{D}$. Будем считать ускорение $a$ постоянным, в этом случае за время $\tau$ от начала движения ось катушки опустится на $\frac{a \tau^{2}}{2}$ и наберет скорость $a \tau$. Для груза, соответственно, смещение будет $a \left (1 - \frac{d}{D} \right ) \frac{ \tau^{2}}{2}$, а скорость $a \left ( 1 - \frac{d}{D} \right ) \tau$. Из энергетических соображений запишем
$Mg \frac{a \tau^{2} }{2} + mg \frac{a \left ( 1 - \frac{d}{D} \right ) \tau^{2} }{2} = \frac{M(a \tau )^{2} }{2} + \frac{m \left ( a \left ( 1 - \frac{d}{D} \right ) \tau \right )^{2} }{2}$.
Отсюда находим ускорение оси катушки:
$a = g \frac{M + m \left ( 1 - \frac{d}{D} \right ) }{M + m \left ( 1 - \frac{d}{D} \right )^{2} }$
и ускорение груза:
$a_{гр} = g \left ( 1 - \frac{d}{D} \right ) \frac{M + m \left ( 1 - \frac{d}{D} \right ) }{M + m \left ( 1 - \frac{d}{D} \right )^{2} }$.
