Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13021
2020-02-10 
Маленький проводящий незаряженный шарик находится на большом расстоянии от точечного заряда $Q$. Во сколько раз изменится сила, действующая на шарик со стороны заряда, если расстояние между ними увеличить в два раза? Во сколько раз нужно будет увеличить диаметр шарика, чтобы вернуть силу взаимодействия к прежнему значению? Подсказка: помещенный в однородное (или почти однородное) поле проводящий незаряженный шарик похож на маленький диполь (маленький - по сравнению с диаметром шарика).
Решение:
На большом расстоянии от заряда $Q$ его поле в пределах объема маленького шарика можно считать однородным; в этом поле разность потенциалов между диаметрально противоположными точками шарика А и Б (рис.) равна
$\Delta \phi_{АБ} = k \frac{Q}{a^{2} } \cdot 2r$.
Шарик проводящий, поэтому результирующая разность потенциалов между этими точками должна обратиться в ноль. Воспользуемся подсказкой - заменим индуцированные на шарике заряды диполем с зарядами $-q$ и $q$ на расстоянии $d \ll r$ друг от друга (рис.). В почти однородном поле этот диполь находится практически в центре потенциалы точек шарика. В поле диполя А и Б равны
$\phi_{А} = k \frac{ - q}{r - \frac{d}{2} } + k \frac{q}{r + \frac{d}{2}}$ и $\phi_{Б} = k \frac{q}{r - \frac{d}{2} } + k \frac{-q}{r + \frac{d}{2} }$,
а
$\Delta \phi_{БА} = 2 k \frac{qd}{r^{2} }$.
Тогда
$2k \frac{qd}{r^{2} } = 2k \frac{Qr}{a^{2} }$,
откуда
$qd = Q \frac{r^{3} }{a^{2} }$.
На диполь действует сила
$F = -k \frac{Qq}{ \left ( a - \frac{d}{2} \right )^{2} } + k \frac{Qq}{ \left ( a + \frac{d}{2} \right )^{2} } = - k \frac{Qq}{ \left ( a^{2} - \frac{d^{2} }{4} \right )^{2} } 2ad = -2k \frac{Qqd}{a^{3} } = - 2k \frac{Q^{2}r^{3} }{a^{5} }$.
Знак "минус" означает притяжение. Видно, что при увеличении, а вдвое сила уменьшится в 32 раза.
Для компенсации уменьшения силы $r^{3}$ должно увеличиться в 32 раза. Для этого радиус шарика нужно увеличить в $\sqrt[3]{32} = 3,17$ раза.
Маленький проводящий незаряженный шарик находится на большом расстоянии от точечного заряда $Q$. Во сколько раз изменится сила, действующая на шарик со стороны заряда, если расстояние между ними увеличить в два раза? Во сколько раз нужно будет увеличить диаметр шарика, чтобы вернуть силу взаимодействия к прежнему значению? Подсказка: помещенный в однородное (или почти однородное) поле проводящий незаряженный шарик похож на маленький диполь (маленький - по сравнению с диаметром шарика).
Решение:
На большом расстоянии от заряда $Q$ его поле в пределах объема маленького шарика можно считать однородным; в этом поле разность потенциалов между диаметрально противоположными точками шарика А и Б (рис.) равна
$\Delta \phi_{АБ} = k \frac{Q}{a^{2} } \cdot 2r$.
Шарик проводящий, поэтому результирующая разность потенциалов между этими точками должна обратиться в ноль. Воспользуемся подсказкой - заменим индуцированные на шарике заряды диполем с зарядами $-q$ и $q$ на расстоянии $d \ll r$ друг от друга (рис.). В почти однородном поле этот диполь находится практически в центре потенциалы точек шарика. В поле диполя А и Б равны
$\phi_{А} = k \frac{ - q}{r - \frac{d}{2} } + k \frac{q}{r + \frac{d}{2}}$ и $\phi_{Б} = k \frac{q}{r - \frac{d}{2} } + k \frac{-q}{r + \frac{d}{2} }$,
а
$\Delta \phi_{БА} = 2 k \frac{qd}{r^{2} }$.
Тогда
$2k \frac{qd}{r^{2} } = 2k \frac{Qr}{a^{2} }$,
откуда
$qd = Q \frac{r^{3} }{a^{2} }$.
На диполь действует сила
$F = -k \frac{Qq}{ \left ( a - \frac{d}{2} \right )^{2} } + k \frac{Qq}{ \left ( a + \frac{d}{2} \right )^{2} } = - k \frac{Qq}{ \left ( a^{2} - \frac{d^{2} }{4} \right )^{2} } 2ad = -2k \frac{Qqd}{a^{3} } = - 2k \frac{Q^{2}r^{3} }{a^{5} }$.
Знак "минус" означает притяжение. Видно, что при увеличении, а вдвое сила уменьшится в 32 раза.
Для компенсации уменьшения силы $r^{3}$ должно увеличиться в 32 раза. Для этого радиус шарика нужно увеличить в $\sqrt[3]{32} = 3,17$ раза.
