Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13020
2020-02-10 
Тонкостенный горизонтальный цилиндрический медный сосуд разделен пополам массивным нетеплопроводящим поршнем (см. рисунок). С одной стороны от поршня находится разреженный кислород, с другой - гелий. Если сместить поршень немного из положения равновесия и отпустить, он будет совершать колебания. Во сколько раз может измениться период этих колебаний, если теплоизолировать сосуд от окружающей среды? Сосуд закреплен и двигаться не может.
Решение:
В первом случае будем считать, что через тонкие стенки сосуда легко проникает тепло - в этом случае температуру газов в любой момент можно считать равной внешней температуре, т.е. $T = const$. Обозначим длину сосуда $2l$, малое смещение поршня $x$. Тогда для каждой половины сосуда запишем
$p_{0}V_{0} = (p_{0} + \Delta p)(V_{0} - \Delta V)$,
или
$p_{0}Sl = (p_{0} + \Delta p)S(l - x)$,
где $S$ - площадь сечения сосуда. Отсюда
$\Delta p = p_{0} \frac{x}{l}$
(мы пренебрегли произведением малых величин $x$ и $\Delta p$). Если в одной половине сосуда давление увеличивается на $\Delta p$, то в другой оно уменьшается на такую же величину. Возвращающая сила, действующая на поршень, равна
$F = - 2 \Delta pS = -2p_{0} \frac{S}{l}x = Mx^{ \prime \prime}$,
отсюда для частоты колебаний поршня массой $M$ получаем
$\omega_{1} = \sqrt{ \frac{2p_{0}S }{lM} }$.
В случае хорошей теплоизоляции температура при колебаниях изменяется, при этом силы, действующие на поршень, также изменяются. Пусть объем гелия уменьшился при смещении поршня на $xS \ll lS$, а давление увеличилось на $\Delta p_{1}$. Используем первое начало термодинамики:
$A + \Delta U = 0$, или $-p_{0}Sx + \frac{3}{2} \nu R \Delta T = 0$,
и уравнение состояния газа:
$pV = \nu RT$, или $\nu R \Delta T = p \Delta V + V \Delta p_{1} = - p_{0}Sx + Sl \Delta p_{1}$.
Отсюда получим
$- p_{0}Sx + \frac{3}{2} (- p_{0}Sx + Sl \Delta p_{1} ) = 0$,
или
$\Delta p_{1} = \frac{5}{3} p_{0} \frac{x}{l}$.
Давление кислорода уменьшается, но для его нахождения нужно учесть, что это двухатомный газ, тогда
$\Delta p_{2} = - \frac{7}{5} p_{0} \frac{x}{l}$.
Разность давлений создает возвращающую силу
$F = - \left ( \frac{5}{3} + \frac{7}{5} \right ) p_{0} \frac{x}{l}S = - \frac{46}{15} \frac{p_{0}S }{l} x$.
Следовательно, новая частота колебаний равна
$\omega_{2} = \sqrt{ \frac{46}{15} \frac{p_{0}S }{lM} }$,
а отношение частот составляет
$\frac{ \omega_{2} }{ \omega_{1} } = \sqrt{ \frac{23}{15} } \approx 1,24$.
Очевидно, что период колебаний уменьшится во столько же раз.
Тонкостенный горизонтальный цилиндрический медный сосуд разделен пополам массивным нетеплопроводящим поршнем (см. рисунок). С одной стороны от поршня находится разреженный кислород, с другой - гелий. Если сместить поршень немного из положения равновесия и отпустить, он будет совершать колебания. Во сколько раз может измениться период этих колебаний, если теплоизолировать сосуд от окружающей среды? Сосуд закреплен и двигаться не может.
Решение:
В первом случае будем считать, что через тонкие стенки сосуда легко проникает тепло - в этом случае температуру газов в любой момент можно считать равной внешней температуре, т.е. $T = const$. Обозначим длину сосуда $2l$, малое смещение поршня $x$. Тогда для каждой половины сосуда запишем
$p_{0}V_{0} = (p_{0} + \Delta p)(V_{0} - \Delta V)$,
или
$p_{0}Sl = (p_{0} + \Delta p)S(l - x)$,
где $S$ - площадь сечения сосуда. Отсюда
$\Delta p = p_{0} \frac{x}{l}$
(мы пренебрегли произведением малых величин $x$ и $\Delta p$). Если в одной половине сосуда давление увеличивается на $\Delta p$, то в другой оно уменьшается на такую же величину. Возвращающая сила, действующая на поршень, равна
$F = - 2 \Delta pS = -2p_{0} \frac{S}{l}x = Mx^{ \prime \prime}$,
отсюда для частоты колебаний поршня массой $M$ получаем
$\omega_{1} = \sqrt{ \frac{2p_{0}S }{lM} }$.
В случае хорошей теплоизоляции температура при колебаниях изменяется, при этом силы, действующие на поршень, также изменяются. Пусть объем гелия уменьшился при смещении поршня на $xS \ll lS$, а давление увеличилось на $\Delta p_{1}$. Используем первое начало термодинамики:
$A + \Delta U = 0$, или $-p_{0}Sx + \frac{3}{2} \nu R \Delta T = 0$,
и уравнение состояния газа:
$pV = \nu RT$, или $\nu R \Delta T = p \Delta V + V \Delta p_{1} = - p_{0}Sx + Sl \Delta p_{1}$.
Отсюда получим
$- p_{0}Sx + \frac{3}{2} (- p_{0}Sx + Sl \Delta p_{1} ) = 0$,
или
$\Delta p_{1} = \frac{5}{3} p_{0} \frac{x}{l}$.
Давление кислорода уменьшается, но для его нахождения нужно учесть, что это двухатомный газ, тогда
$\Delta p_{2} = - \frac{7}{5} p_{0} \frac{x}{l}$.
Разность давлений создает возвращающую силу
$F = - \left ( \frac{5}{3} + \frac{7}{5} \right ) p_{0} \frac{x}{l}S = - \frac{46}{15} \frac{p_{0}S }{l} x$.
Следовательно, новая частота колебаний равна
$\omega_{2} = \sqrt{ \frac{46}{15} \frac{p_{0}S }{lM} }$,
а отношение частот составляет
$\frac{ \omega_{2} }{ \omega_{1} } = \sqrt{ \frac{23}{15} } \approx 1,24$.
Очевидно, что период колебаний уменьшится во столько же раз.
