Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13006
2020-02-10 
Двухпроводный кабель в пластмассовой изоляции имеет емкость 25 пФ на метр длины и индуктивность 1 мкГн на метр длины (учитываются оба провода). С какой скоростью распространяется в этом кабеле низкочастотная электромагнитная волна? Какой резистор нужно включить на конце этого кабеля, чтобы не было отражений сигнала?
Решение:
Непосредственный расчет токов и напряжений в кабеле сильно выходит за рамки школьной программы. Но задачу можно решить, заменив кабель эквивалентной схемой, содержащей множество одинаковых звеньев (рис. ), каждое из которых состоит из катушки индуктивности и конденсатора (так сказать, порежем кабель на маленькие кусочки). Если, например, длина такого кусочка равна 1 м, то индуктивность катушки будет 1 мкГн, а емкость конденсатора составит 25 пФ, при кусочках длиной 2 м индуктивность будет 2 мкГн, а емкость составит 50 пФ. Видно, что выбор наш не вполне произволен: если взять кусок побольше, то в разных частях этого куска напряжения и токи будут иметь существенно различные фазы, и этим уже нельзя будет пренебрегать. Поэтому будем заранее считать кусочки маленькими, а в процессе решения выясним разумность нашей модели.
Итак, обозначим буквами $L$ и $C$ индуктивность и емкость одного звена (предполагаем эти величины малыми). В идеальном кабеле нет потерь энергии, поэтому амплитуда переменного напряжения не должна изменяться от ячейки к ячейке (как и амплитуда тока, разумеется), а частота колебаний пусть будет $\omega$ (в условии задачи упомянута "низкочастотная" волна, значит, $\omega$ должна быть малой, а в процессе решения мы посмотрим - по сравнению с чем). Разность токов соседних катушек равна току конденсатора, включенного между ними, разность напряжений между соседними конденсаторами равна напряжению на катушке, которая включена между ними (на рисунке на векторных диаграммах токов и напряжений относящиеся к конденсаторам векторы нарисованы красным). Треугольники токов и напряжений подобны, малые углы при вершине каждого из них равны $\phi$, тогда для малых углов можно записать
$I_{C} = I_{L} \phi, U_{L} = U_{C} \phi$.
Как обычно, соотношения между токами и напряжениями для гармонических колебаний имеют вид
$U_{C} = I_{C} X_{C}, U_{L} = I_{L}X_{L}$,
где $X_{C} = \frac{1}{ \omega C}$ и $X_{L} = \omega L$. Выразим отсюда значение угла $\phi$:
$\phi = \omega \sqrt{LC}$.
Видно, что при малых частотах угол получается и в самом деле малым, достаточно взять $\omega$? $\frac{1}{ \sqrt{LC}}$ - при малых значениях индуктивности и емкости "малая частота" получается довольно большой. В нашем случае $\omega$? $\frac{1}{ \sqrt{LC} } = 2 \cdot 10^{8} 1/с$, или в привычных нам герцах получается $3 \cdot 10^{7} Гц$, т.е. частота может достигать нескольких десятков миллионов герц - не так уж и мало... Запаздывание в расчете на одну ячейку составляет $\tau = \frac{ \phi}{ \omega} = \sqrt{LC}$. Для ячеек метровой длины ($l = 1 м$) скорость получается равной
$v = \frac{l}{ \tau } = \frac{l}{ \sqrt{LC}} = 2 \cdot 10^{8} м/с$
- в полтора раза меньше скорости света в вакууме. Видно, что при другой длине кусочка ответ получается таким же, лишь бы длина кусочка была малой.
Найдем теперь соотношение между приложенным к цепи напряжением и током, "втекающим" в цепь: при амплитуде приложенного напряжения $U$ напряжение на первой катушке $U_{L} = U \phi$, ток $I = \frac{U_{L}}{X_{L}}$, сопротивление цепи $Z = \frac{U}{I} = \frac{ \omega L}{ \phi} = \sqrt{ \frac{L}{C} } = 200 Ом$. Получилось "обычное" сопротивление - не индуктивное и не емкостное. Если кабель имеет конечную длину (так обычно и бывает), то на конце кабеля можно включить именно такой резистор (чаще встречаются кабели с "волновым" сопротивлением 75 или 50 Ом).
Двухпроводный кабель в пластмассовой изоляции имеет емкость 25 пФ на метр длины и индуктивность 1 мкГн на метр длины (учитываются оба провода). С какой скоростью распространяется в этом кабеле низкочастотная электромагнитная волна? Какой резистор нужно включить на конце этого кабеля, чтобы не было отражений сигнала?
Решение:
Непосредственный расчет токов и напряжений в кабеле сильно выходит за рамки школьной программы. Но задачу можно решить, заменив кабель эквивалентной схемой, содержащей множество одинаковых звеньев (рис. ), каждое из которых состоит из катушки индуктивности и конденсатора (так сказать, порежем кабель на маленькие кусочки). Если, например, длина такого кусочка равна 1 м, то индуктивность катушки будет 1 мкГн, а емкость конденсатора составит 25 пФ, при кусочках длиной 2 м индуктивность будет 2 мкГн, а емкость составит 50 пФ. Видно, что выбор наш не вполне произволен: если взять кусок побольше, то в разных частях этого куска напряжения и токи будут иметь существенно различные фазы, и этим уже нельзя будет пренебрегать. Поэтому будем заранее считать кусочки маленькими, а в процессе решения выясним разумность нашей модели.
Итак, обозначим буквами $L$ и $C$ индуктивность и емкость одного звена (предполагаем эти величины малыми). В идеальном кабеле нет потерь энергии, поэтому амплитуда переменного напряжения не должна изменяться от ячейки к ячейке (как и амплитуда тока, разумеется), а частота колебаний пусть будет $\omega$ (в условии задачи упомянута "низкочастотная" волна, значит, $\omega$ должна быть малой, а в процессе решения мы посмотрим - по сравнению с чем). Разность токов соседних катушек равна току конденсатора, включенного между ними, разность напряжений между соседними конденсаторами равна напряжению на катушке, которая включена между ними (на рисунке на векторных диаграммах токов и напряжений относящиеся к конденсаторам векторы нарисованы красным). Треугольники токов и напряжений подобны, малые углы при вершине каждого из них равны $\phi$, тогда для малых углов можно записать
$I_{C} = I_{L} \phi, U_{L} = U_{C} \phi$.
Как обычно, соотношения между токами и напряжениями для гармонических колебаний имеют вид
$U_{C} = I_{C} X_{C}, U_{L} = I_{L}X_{L}$,
где $X_{C} = \frac{1}{ \omega C}$ и $X_{L} = \omega L$. Выразим отсюда значение угла $\phi$:
$\phi = \omega \sqrt{LC}$.
Видно, что при малых частотах угол получается и в самом деле малым, достаточно взять $\omega$? $\frac{1}{ \sqrt{LC}}$ - при малых значениях индуктивности и емкости "малая частота" получается довольно большой. В нашем случае $\omega$? $\frac{1}{ \sqrt{LC} } = 2 \cdot 10^{8} 1/с$, или в привычных нам герцах получается $3 \cdot 10^{7} Гц$, т.е. частота может достигать нескольких десятков миллионов герц - не так уж и мало... Запаздывание в расчете на одну ячейку составляет $\tau = \frac{ \phi}{ \omega} = \sqrt{LC}$. Для ячеек метровой длины ($l = 1 м$) скорость получается равной
$v = \frac{l}{ \tau } = \frac{l}{ \sqrt{LC}} = 2 \cdot 10^{8} м/с$
- в полтора раза меньше скорости света в вакууме. Видно, что при другой длине кусочка ответ получается таким же, лишь бы длина кусочка была малой.
Найдем теперь соотношение между приложенным к цепи напряжением и током, "втекающим" в цепь: при амплитуде приложенного напряжения $U$ напряжение на первой катушке $U_{L} = U \phi$, ток $I = \frac{U_{L}}{X_{L}}$, сопротивление цепи $Z = \frac{U}{I} = \frac{ \omega L}{ \phi} = \sqrt{ \frac{L}{C} } = 200 Ом$. Получилось "обычное" сопротивление - не индуктивное и не емкостное. Если кабель имеет конечную длину (так обычно и бывает), то на конце кабеля можно включить именно такой резистор (чаще встречаются кабели с "волновым" сопротивлением 75 или 50 Ом).
