Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13000
2020-02-08 
В очень большом сосуде находится гелий при температуре $T_{0} = 1000 К$ и давлении $p_{0} = 0,1 Па$. Откачанный до глубокого вакуума сосуд объемом $V = 1 л$ находится внутри большого сосуда. В стенке маленького сосуда открывается клапан площадью $S = 1 мм^{2}$, а через время $\tau = 0,01 с$ он закрывается. Оцените давление и температуру внутри маленького сосуда после того, как в нем все успокоится. Стенки маленького сосуда очень тонкие, но их теплопроводность совсем мала.
Решение:
Для начала оценим длину свободного пробега молекул в большом сосуде. Концентрация молекул $n = \frac{p}{kT} \approx 10^{19} 1/м^{3}$ (оценки будем делать грубые - точные расчеты в этой задаче получаются плохо...). Принимая диаметр молекулы гелия равным $d = 2 \cdot 10^{-10} м$, для длины свободного пробега получим $\lambda = \frac{1}{ \pi d^{2}n} \approx 1 м$. При такой большой величине длины свободного пробега молекулы влетают в сосуд практически не соударяясь между собой, и работа окружающего газа над влетающими порциями отсутствует. Казалось бы, энергия молекул внутри сосуда должна быть равна среднему значению снаружи, однако доля быстрых молекул среди влетающих в сосуд заметно выше, чем снаружи, - быстрые молекулы за заданное время влетают в сосуд с больших расстояний, чем медленные. Расчет тут провести не просто - нужно учитывать долю молекул с определенными скоростями (распределение молекул по скоростям).
Можно сделать такую, например, грубую оценку: будем считать, что влетают в сосуд молекулы со средними энергиями, но быстрые молекулы их "подгоняют". Оценим давление только быстрых молекул как половину полного давления (строго говоря, их вклад выше, но доля быстрых молекул в общем числе невелика). Тогда "добавка" к средней энергии вошедшего в сосуд объема $V$ молекул составит $0,5pV = 0,5 \nu RT$, т.е. можно сказать, что энергия возрастет в 4/3 раза. Это означает, что температура газа в сосуде окажется в это же число раз больше (самое забавное, что аккуратная оценка дает тот же результат!) и составит $T \approx 1333 К$.
Число влетевших молекул можно оценивать любым способом - через переданный импульс, просто кинематически и т.п., получится примерно $10^{14}$ молекул. При этом давление в сосуде окажется порядка 0,001 Па. Это существенно меньше давления снаружи, так что обратным потоком молекул из внутреннего сосуда наружу можно пренебречь.
В очень большом сосуде находится гелий при температуре $T_{0} = 1000 К$ и давлении $p_{0} = 0,1 Па$. Откачанный до глубокого вакуума сосуд объемом $V = 1 л$ находится внутри большого сосуда. В стенке маленького сосуда открывается клапан площадью $S = 1 мм^{2}$, а через время $\tau = 0,01 с$ он закрывается. Оцените давление и температуру внутри маленького сосуда после того, как в нем все успокоится. Стенки маленького сосуда очень тонкие, но их теплопроводность совсем мала.
Решение:
Для начала оценим длину свободного пробега молекул в большом сосуде. Концентрация молекул $n = \frac{p}{kT} \approx 10^{19} 1/м^{3}$ (оценки будем делать грубые - точные расчеты в этой задаче получаются плохо...). Принимая диаметр молекулы гелия равным $d = 2 \cdot 10^{-10} м$, для длины свободного пробега получим $\lambda = \frac{1}{ \pi d^{2}n} \approx 1 м$. При такой большой величине длины свободного пробега молекулы влетают в сосуд практически не соударяясь между собой, и работа окружающего газа над влетающими порциями отсутствует. Казалось бы, энергия молекул внутри сосуда должна быть равна среднему значению снаружи, однако доля быстрых молекул среди влетающих в сосуд заметно выше, чем снаружи, - быстрые молекулы за заданное время влетают в сосуд с больших расстояний, чем медленные. Расчет тут провести не просто - нужно учитывать долю молекул с определенными скоростями (распределение молекул по скоростям).
Можно сделать такую, например, грубую оценку: будем считать, что влетают в сосуд молекулы со средними энергиями, но быстрые молекулы их "подгоняют". Оценим давление только быстрых молекул как половину полного давления (строго говоря, их вклад выше, но доля быстрых молекул в общем числе невелика). Тогда "добавка" к средней энергии вошедшего в сосуд объема $V$ молекул составит $0,5pV = 0,5 \nu RT$, т.е. можно сказать, что энергия возрастет в 4/3 раза. Это означает, что температура газа в сосуде окажется в это же число раз больше (самое забавное, что аккуратная оценка дает тот же результат!) и составит $T \approx 1333 К$.
Число влетевших молекул можно оценивать любым способом - через переданный импульс, просто кинематически и т.п., получится примерно $10^{14}$ молекул. При этом давление в сосуде окажется порядка 0,001 Па. Это существенно меньше давления снаружи, так что обратным потоком молекул из внутреннего сосуда наружу можно пренебречь.
