Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12990
2020-02-08 
Через неподвижный блок переброшена легкая нерастяжимая нить, к концам нити прикреплены два одинаковых груза массой $M$ каждый. К боковой поверхности одного из грузов прицепился таракан массой $m$. Вначале грузы удерживали, причем тяжелый груз находился на $H$ выше легкого. Грузы отпустили. В тот момент, когда они поравнялись, таракан прыгнул перпендикулярно боковой поверхности своего груза и уцепился за двигавшийся вверх второй груз. Через какое время грузы снова поравняются? На какую максимальную высоту поднимется груз с тараканом?
Решение:
К тому моменту, когда грузы в первый раз поравняются, таракан опустится на $H/2$ и скорости тел (по величине они все одинаковы) можно найти из энергетических соображений:
$\frac{mgH}{2} = \frac{(2M + m)v_{1}^{2}}{2}$,
отсюда
$v_{1} = \sqrt{ \frac{mgH}{2M + m} }$.
Прыгая перпендикулярно боковой поверхности опускающегося груза, таракан имеет вертикальную скорость, равную скорости покидаемого им груза, а прыжок не оказывает влияния на скорость этого груза. Но после того как таракан уцепится за поверхность второго груза, скорость системы изменится, и часть энергии системы перейдет в тепло. Найдем новую скорость из закона сохранения импульса (тут не все так просто - есть закрепленный блок, который может "испортить" нам полный импульс, но, достаточно долго рассуждая на эту тему, можно убедить почти всех, что этого не произойдет). Итак, грузы движутся вместе со скоростью $v_{1}$, навстречу им с такой же по величине, но противоположной по направлению скоростью летит таракан. Скорость после такого "удара"
$v_{2} = v_{1} \frac{2M - m}{2M + m}$.
Ускорение движущегося с этой начальной скоростью вверх тяжелого груза направлено вниз и равно
$a = g \frac{m}{2M + m}$,
а время движения до верхней точки равно
$\tau = \frac{v_{2}}{a} = \frac{(2M - m)v_{1}}{mg}$.
Поравняются грузы еще через $\tau$, значит, искомое время составит
$t = 2 \tau = 2(2M - m) \sqrt{ \frac{H}{mg(2M + m)} }$.
Высота подъема груза с тараканом относительно точки встречи будет
$h = \frac{1}{2} v_{2} \tau = \frac{H}{2} \frac{(2M - m)^{2}}{(2M + m)^{2} }$.
Условие этой задачи можно понять и по-другому: таракан прыгает так, что его скорость оказывается параллельной поверхности земли, т.е. он отталкивается от поверхности груза под некоторым углом, чтобы погасить свою вертикальную скорость. Этот вариант задачи для решения проще - два быстрых последовательных толчка в одну сторону и в другую оставляют скорости грузов прежними, а высота подъема относительно точки встречи получается равной $H/2$.
Через неподвижный блок переброшена легкая нерастяжимая нить, к концам нити прикреплены два одинаковых груза массой $M$ каждый. К боковой поверхности одного из грузов прицепился таракан массой $m$. Вначале грузы удерживали, причем тяжелый груз находился на $H$ выше легкого. Грузы отпустили. В тот момент, когда они поравнялись, таракан прыгнул перпендикулярно боковой поверхности своего груза и уцепился за двигавшийся вверх второй груз. Через какое время грузы снова поравняются? На какую максимальную высоту поднимется груз с тараканом?
Решение:
К тому моменту, когда грузы в первый раз поравняются, таракан опустится на $H/2$ и скорости тел (по величине они все одинаковы) можно найти из энергетических соображений:
$\frac{mgH}{2} = \frac{(2M + m)v_{1}^{2}}{2}$,
отсюда
$v_{1} = \sqrt{ \frac{mgH}{2M + m} }$.
Прыгая перпендикулярно боковой поверхности опускающегося груза, таракан имеет вертикальную скорость, равную скорости покидаемого им груза, а прыжок не оказывает влияния на скорость этого груза. Но после того как таракан уцепится за поверхность второго груза, скорость системы изменится, и часть энергии системы перейдет в тепло. Найдем новую скорость из закона сохранения импульса (тут не все так просто - есть закрепленный блок, который может "испортить" нам полный импульс, но, достаточно долго рассуждая на эту тему, можно убедить почти всех, что этого не произойдет). Итак, грузы движутся вместе со скоростью $v_{1}$, навстречу им с такой же по величине, но противоположной по направлению скоростью летит таракан. Скорость после такого "удара"
$v_{2} = v_{1} \frac{2M - m}{2M + m}$.
Ускорение движущегося с этой начальной скоростью вверх тяжелого груза направлено вниз и равно
$a = g \frac{m}{2M + m}$,
а время движения до верхней точки равно
$\tau = \frac{v_{2}}{a} = \frac{(2M - m)v_{1}}{mg}$.
Поравняются грузы еще через $\tau$, значит, искомое время составит
$t = 2 \tau = 2(2M - m) \sqrt{ \frac{H}{mg(2M + m)} }$.
Высота подъема груза с тараканом относительно точки встречи будет
$h = \frac{1}{2} v_{2} \tau = \frac{H}{2} \frac{(2M - m)^{2}}{(2M + m)^{2} }$.
Условие этой задачи можно понять и по-другому: таракан прыгает так, что его скорость оказывается параллельной поверхности земли, т.е. он отталкивается от поверхности груза под некоторым углом, чтобы погасить свою вертикальную скорость. Этот вариант задачи для решения проще - два быстрых последовательных толчка в одну сторону и в другую оставляют скорости грузов прежними, а высота подъема относительно точки встречи получается равной $H/2$.
