Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12969
2020-02-08 
Плосковыпуклая линза сделана из стекла с коэффициентом преломления $n = 1,5$ и имеет диаметр $D = 5 см$. Радиус выпуклой сферической поверхности $R = 5 см$. На плоскую поверхность линзы вдоль ее главной оптической оси падает широкий параллельный пучок лучей. Определите размер пятна на экране, расположенном за линзой перпендикулярно падающему пучку. Положение экрана было выбрано по минимальному размеру светлого пятна при узком (ограниченном диафрагмой) пучке лучей вдоль главной оптической оси.
Решение:
Линза в условии задачи расположена самым простым для расчета способом - параллельный пучок падает вначале перпендикулярно на плоскую поверхность линзы и не преломляется, поэтому считать преломление приходится только на сферической границе раздела стекло - воздух. Найдем толщину линзы $d$ (в самом толстом месте):
$R^{2} = \left ( \frac{D}{2} \right )^{2} + (R - d)^{2}$,
откуда
$d = 0,67 см$.
Толщина линзы для нас важна потому, что расстояния придется отсчитывать от разных точек поверхности линзы. Для тонкого (диафрагмированного) пучка, параллельного главной оптической оси линзы, изображение получится в фокусе на расстоянии
$F = \frac{R}{n - 1} = 10 см$.
Рассмотрим самый удаленный от главной оптической оси луч (см. рисунок) - для него угол падения, измеренный относительно радиуса, проведенного в точку преломления на сферической поверхности, равен $\alpha = 30^{ \circ}$, так как $\sin \alpha = \frac{ \frac{D}{2} }{R} = 0,5$. Угол преломления находим по значению синуса: $\sin \beta = n \sin \alpha = 0,75, \beta = 48,6^{ \circ}$. После простых расчетов находим точку главной оптической оси, через которую этот луч пройдет. Она находится на расстоянии $L = \frac{D}{2} ctg ( \beta - \alpha )$ от плоской поверхности линзы. С учетом толщины линзы получим, что крайние лучи пучка после преломления пересекаются на расстоянии 3,2 см от экрана, что дает диаметр светлого пятна примерно 2,2 см. Интересно исследовать вопрос: а не найдутся ли лучи, которые дают больший диаметр пучка, чем полученный нами для крайних лучей?
Плосковыпуклая линза сделана из стекла с коэффициентом преломления $n = 1,5$ и имеет диаметр $D = 5 см$. Радиус выпуклой сферической поверхности $R = 5 см$. На плоскую поверхность линзы вдоль ее главной оптической оси падает широкий параллельный пучок лучей. Определите размер пятна на экране, расположенном за линзой перпендикулярно падающему пучку. Положение экрана было выбрано по минимальному размеру светлого пятна при узком (ограниченном диафрагмой) пучке лучей вдоль главной оптической оси.
Решение:
Линза в условии задачи расположена самым простым для расчета способом - параллельный пучок падает вначале перпендикулярно на плоскую поверхность линзы и не преломляется, поэтому считать преломление приходится только на сферической границе раздела стекло - воздух. Найдем толщину линзы $d$ (в самом толстом месте):
$R^{2} = \left ( \frac{D}{2} \right )^{2} + (R - d)^{2}$,
откуда
$d = 0,67 см$.
Толщина линзы для нас важна потому, что расстояния придется отсчитывать от разных точек поверхности линзы. Для тонкого (диафрагмированного) пучка, параллельного главной оптической оси линзы, изображение получится в фокусе на расстоянии
$F = \frac{R}{n - 1} = 10 см$.
Рассмотрим самый удаленный от главной оптической оси луч (см. рисунок) - для него угол падения, измеренный относительно радиуса, проведенного в точку преломления на сферической поверхности, равен $\alpha = 30^{ \circ}$, так как $\sin \alpha = \frac{ \frac{D}{2} }{R} = 0,5$. Угол преломления находим по значению синуса: $\sin \beta = n \sin \alpha = 0,75, \beta = 48,6^{ \circ}$. После простых расчетов находим точку главной оптической оси, через которую этот луч пройдет. Она находится на расстоянии $L = \frac{D}{2} ctg ( \beta - \alpha )$ от плоской поверхности линзы. С учетом толщины линзы получим, что крайние лучи пучка после преломления пересекаются на расстоянии 3,2 см от экрана, что дает диаметр светлого пятна примерно 2,2 см. Интересно исследовать вопрос: а не найдутся ли лучи, которые дают больший диаметр пучка, чем полученный нами для крайних лучей?
