Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12968
2020-02-08 
Резистор сопротивлением 100 Ом подключен к сети переменного напряжения 220 В, 50 Гц последовательно с диодом (идеальный диод имеет нулевое сопротивление при пропускании через него тока одной полярности и бесконечное сопротивление при попытке пропустить ток другой полярности). Найдите среднюю мощность, выделяющуюся в резисторе в виде тепла. Во сколько раз изменится эта мощность при подключении параллельно резистору конденсатора емкостью 1 мкФ? А при подключении конденсатора емкостью 1000 мкФ?
Решение:
Легко подсчитать мощность без подключения конденсаторов: диод "убирает" половину каждого периода, уменьшая мощность вдвое, т.е.
$P = \frac{0,5U^{2}}{R} = \frac{0,5(220)^{2}}{100} Вт = 242 Вт$
(220 В - это действующее, или эффективное значение напряжения).
Если параллельно резистору включить конденсатор очень большой емкости, то напряжение на резисторе перестанет быть переменным - оно постоянно будет равно амплитудному значению напряжения сети, и мощность возрастет ровно вчетверо (понятно, что конденсатор не дает лишней энергии - он просто помогает резистору эффективнее грабить источник). При очень малой емкости конденсатора мощность останется практически такой же, как и без него.
Теперь нужно понять - что же такое "очень большая" и "очень маленькая" емкости, что с чем тут нужно сравнивать. Проще всего сравнить период сетевого напряжения: при частоте 50 Гц он составляет 0,02 с и так называемое характерное время $\tau$ для цепи конденсатор - резистор: оно определяется произведением $RC$ и для конденсатора емкостью 1 мкФ составляет 0,0001 с, а для конденсатора емкостью 1000 мкФ - 0,1 с.
Все это очень мило и грамотно, но это все же не решение нашей задачи - полное решение должно включать разумную числовую оценку изменения мощности при подключении каждого конденсатора. Для конденсатора емкостью 1 мкФ нужно разобраться, в какой момент диод запирается и конденсатор начинает снабжать накопленной энергией резистор. Если диод заперт, а напряжение конденсатора $U$, то ток равен $I = \frac{U}{R}$ (пока напряжение конденсатора не успело заметно упасть), при этом скорость уменьшения напряжения конденсатора со временем равна
$\frac{ \Delta U}{ \Delta t} = \frac{ \frac{ \Delta Q}{C} }{ \Delta t} = \frac{U}{RC}$
Если напряжение сети в этот момент спадает круче, то диод остается закрытым - чем дальше, тем круче спадает напряжение сети (пока не достигнет нуля), а конденсатор, наоборот, разряжается все медленнее (см. рисунок). В противном случае диод снова откроется, и конденсатор будет подключен к источнику (придется ждать уменьшения напряжения). Возьмем производную по времени от переменного напряжения сети (нам нужен спадающий участок) и приравняем полученному выше выражению для напряжения конденсатора (это тоже спадающая функция, производная ее отрицательна). Пусть напряжение в сети меняется по закону $U(t) = U_{0} \cos \omega t$, тогда получим
$- U_{0} \cos \omega t = - \frac{U_{0} \cos \omega t }{RT}$.
Для частоты 50 Гц имеем $\omega =314 с^{-1}$. Получается, что диод запирается при напряжении, примерно равном $U_{1} = 9,8 В$, и накопленную энергию при запирании диода конденсатор 50 раз в секунду будет отдавать резистору, создавая добавочную мощность
$P_{1} \approx f \frac{CU_{1}^{2} }{2} = 50 \cdot 1 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{100}{2} Вт = 2,5 \cdot 10^{-3} Вт$.
Но по сравнению со схемой без конденсатора мы несколько завысили оценку добавочной мощности - при запертом диоде в резистор не поступает мощность от сети, которая меньше мощности, отдаваемой конденсатором, но все же не равна нулю. Учет этой мощности снижает добавку еще примерно в три раза.
Для конденсатора большой емкости тоже нужно уточнить расчет - ведь напряжение его не остается равным амплитуде сети, а медленно спадает (до $U_{2}$). Приблизительный учет этого уменьшения можно провести, считая ток разряда близким к постоянному. Аккуратный расчет показывает, что при подключении конденсатора емкостью 1000 мкФ мощность возрастает не в 4, а примерно в 3,5 раза. В общем, кроме разговоров о том, что какая-то величина очень-очень мала, должна быть и разумная оценка этой величины, пусть и грубая.
Резистор сопротивлением 100 Ом подключен к сети переменного напряжения 220 В, 50 Гц последовательно с диодом (идеальный диод имеет нулевое сопротивление при пропускании через него тока одной полярности и бесконечное сопротивление при попытке пропустить ток другой полярности). Найдите среднюю мощность, выделяющуюся в резисторе в виде тепла. Во сколько раз изменится эта мощность при подключении параллельно резистору конденсатора емкостью 1 мкФ? А при подключении конденсатора емкостью 1000 мкФ?
Решение:
Легко подсчитать мощность без подключения конденсаторов: диод "убирает" половину каждого периода, уменьшая мощность вдвое, т.е.
$P = \frac{0,5U^{2}}{R} = \frac{0,5(220)^{2}}{100} Вт = 242 Вт$
(220 В - это действующее, или эффективное значение напряжения).
Если параллельно резистору включить конденсатор очень большой емкости, то напряжение на резисторе перестанет быть переменным - оно постоянно будет равно амплитудному значению напряжения сети, и мощность возрастет ровно вчетверо (понятно, что конденсатор не дает лишней энергии - он просто помогает резистору эффективнее грабить источник). При очень малой емкости конденсатора мощность останется практически такой же, как и без него.
Теперь нужно понять - что же такое "очень большая" и "очень маленькая" емкости, что с чем тут нужно сравнивать. Проще всего сравнить период сетевого напряжения: при частоте 50 Гц он составляет 0,02 с и так называемое характерное время $\tau$ для цепи конденсатор - резистор: оно определяется произведением $RC$ и для конденсатора емкостью 1 мкФ составляет 0,0001 с, а для конденсатора емкостью 1000 мкФ - 0,1 с.
Все это очень мило и грамотно, но это все же не решение нашей задачи - полное решение должно включать разумную числовую оценку изменения мощности при подключении каждого конденсатора. Для конденсатора емкостью 1 мкФ нужно разобраться, в какой момент диод запирается и конденсатор начинает снабжать накопленной энергией резистор. Если диод заперт, а напряжение конденсатора $U$, то ток равен $I = \frac{U}{R}$ (пока напряжение конденсатора не успело заметно упасть), при этом скорость уменьшения напряжения конденсатора со временем равна
$\frac{ \Delta U}{ \Delta t} = \frac{ \frac{ \Delta Q}{C} }{ \Delta t} = \frac{U}{RC}$
Если напряжение сети в этот момент спадает круче, то диод остается закрытым - чем дальше, тем круче спадает напряжение сети (пока не достигнет нуля), а конденсатор, наоборот, разряжается все медленнее (см. рисунок). В противном случае диод снова откроется, и конденсатор будет подключен к источнику (придется ждать уменьшения напряжения). Возьмем производную по времени от переменного напряжения сети (нам нужен спадающий участок) и приравняем полученному выше выражению для напряжения конденсатора (это тоже спадающая функция, производная ее отрицательна). Пусть напряжение в сети меняется по закону $U(t) = U_{0} \cos \omega t$, тогда получим
$- U_{0} \cos \omega t = - \frac{U_{0} \cos \omega t }{RT}$.
Для частоты 50 Гц имеем $\omega =314 с^{-1}$. Получается, что диод запирается при напряжении, примерно равном $U_{1} = 9,8 В$, и накопленную энергию при запирании диода конденсатор 50 раз в секунду будет отдавать резистору, создавая добавочную мощность
$P_{1} \approx f \frac{CU_{1}^{2} }{2} = 50 \cdot 1 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{100}{2} Вт = 2,5 \cdot 10^{-3} Вт$.
Но по сравнению со схемой без конденсатора мы несколько завысили оценку добавочной мощности - при запертом диоде в резистор не поступает мощность от сети, которая меньше мощности, отдаваемой конденсатором, но все же не равна нулю. Учет этой мощности снижает добавку еще примерно в три раза.
Для конденсатора большой емкости тоже нужно уточнить расчет - ведь напряжение его не остается равным амплитуде сети, а медленно спадает (до $U_{2}$). Приблизительный учет этого уменьшения можно провести, считая ток разряда близким к постоянному. Аккуратный расчет показывает, что при подключении конденсатора емкостью 1000 мкФ мощность возрастает не в 4, а примерно в 3,5 раза. В общем, кроме разговоров о том, что какая-то величина очень-очень мала, должна быть и разумная оценка этой величины, пусть и грубая.
