Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 12961
2020-02-08 
По прямому горизонтальному стержню может скользить без трения бусинка массой $M$ (рис.). К бусинке привязана легкая нерастяжимая нитка длиной $L$. Нитку мы тянем за свободный конец так, что скорость этого конца все время направлена вдоль нити и равна по величине $v_{0}$. С какой силой нужно тянуть в тот момент, когда нить направлена под углом $\alpha$ к стержню? Нить все время находится в горизонтальной плоскости.
Решение:
Если бы скорость свободного конца нити была постоянной (а это не так - вектор скорости все время поворачивается), можно было бы "пересесть" в систему отсчета, которая связана с этим концом, - в такой системе бусинка движется по окружности и можно легко записать необходимые уравнения. В нашем же случае система получилась бы неинерциальной, и никакого упрощения мы не получили бы. Будем действовать так. Нить нерастяжима - это позволит связать скорости концов нити при заданном значении угла $\alpha$. Дальше зададим очень малый интервал времени $\Delta t$, найдем новое положение бусинки и новое значение угла. После этого выразим новую скорость и найдем ее приращение за выбранный интервал $\Delta t$. Таким образом мы вычислим ускорение бусинки, после чего силу уже будет совсем просто найти. Итак, пусть для угла $\alpha$ скорость бусинки равна и (рис.), причем
$u \cos \alpha = v_{0}$.
Через малый интервал $\Delta t$ конец нити сместится на $v_{0} \Delta t$, бусинка проедет $u \Delta t$, и теперь можно записать новое равенство
$(u + \Delta u) \cos ( \alpha + \Delta \alpha ) = v_{0}$.
Раскрывая скобки, пользуясь известным выражением для косинуса суммы углов и заменяя конус малого угла на 1, а синус на значение угла, получим
$\Delta u \cos \alpha = u \sin \alpha \cdot \Delta \alpha$.
Величину приращения угла можно найти из геометрических соображений - например, используя теорему синусов
$\frac{u \Delta t}{ \sin \Delta \alpha} = \frac{L}{ \sin \alpha}$.
Заменяя синус малого угла $\Delta \alpha$ значением самого угла, найдем
$\Delta \alpha = \frac{ u \Delta t \sin \alpha}{L}$.
После простых преобразований получим
$\frac{ \Delta u }{ \Delta t } = u^{2} \frac{ \sin^{2} \alpha }{L \cos \alpha} = v_{0}^{2} \frac{ \sin^{2} \alpha }{L \cos^{3} \alpha }$.
Дальше уже совсем просто. Запишем уравнение второго закона Ньютона для бусинки:
$T \cos \alpha = M \frac{ \Delta u }{ \Delta t} = Mv_{0}^{2} \frac{ \sin^{2} \alpha }{L \cos^{3} \alpha }$,
откуда найдем искомую силу $T$:
$T = Mv_{0}^{2} \frac{ \sin^{2} \alpha }{L \cos^{4} \alpha }$.
По прямому горизонтальному стержню может скользить без трения бусинка массой $M$ (рис.). К бусинке привязана легкая нерастяжимая нитка длиной $L$. Нитку мы тянем за свободный конец так, что скорость этого конца все время направлена вдоль нити и равна по величине $v_{0}$. С какой силой нужно тянуть в тот момент, когда нить направлена под углом $\alpha$ к стержню? Нить все время находится в горизонтальной плоскости.
Решение:
Если бы скорость свободного конца нити была постоянной (а это не так - вектор скорости все время поворачивается), можно было бы "пересесть" в систему отсчета, которая связана с этим концом, - в такой системе бусинка движется по окружности и можно легко записать необходимые уравнения. В нашем же случае система получилась бы неинерциальной, и никакого упрощения мы не получили бы. Будем действовать так. Нить нерастяжима - это позволит связать скорости концов нити при заданном значении угла $\alpha$. Дальше зададим очень малый интервал времени $\Delta t$, найдем новое положение бусинки и новое значение угла. После этого выразим новую скорость и найдем ее приращение за выбранный интервал $\Delta t$. Таким образом мы вычислим ускорение бусинки, после чего силу уже будет совсем просто найти. Итак, пусть для угла $\alpha$ скорость бусинки равна и (рис.), причем
$u \cos \alpha = v_{0}$.
Через малый интервал $\Delta t$ конец нити сместится на $v_{0} \Delta t$, бусинка проедет $u \Delta t$, и теперь можно записать новое равенство
$(u + \Delta u) \cos ( \alpha + \Delta \alpha ) = v_{0}$.
Раскрывая скобки, пользуясь известным выражением для косинуса суммы углов и заменяя конус малого угла на 1, а синус на значение угла, получим
$\Delta u \cos \alpha = u \sin \alpha \cdot \Delta \alpha$.
Величину приращения угла можно найти из геометрических соображений - например, используя теорему синусов
$\frac{u \Delta t}{ \sin \Delta \alpha} = \frac{L}{ \sin \alpha}$.
Заменяя синус малого угла $\Delta \alpha$ значением самого угла, найдем
$\Delta \alpha = \frac{ u \Delta t \sin \alpha}{L}$.
После простых преобразований получим
$\frac{ \Delta u }{ \Delta t } = u^{2} \frac{ \sin^{2} \alpha }{L \cos \alpha} = v_{0}^{2} \frac{ \sin^{2} \alpha }{L \cos^{3} \alpha }$.
Дальше уже совсем просто. Запишем уравнение второго закона Ньютона для бусинки:
$T \cos \alpha = M \frac{ \Delta u }{ \Delta t} = Mv_{0}^{2} \frac{ \sin^{2} \alpha }{L \cos^{3} \alpha }$,
откуда найдем искомую силу $T$:
$T = Mv_{0}^{2} \frac{ \sin^{2} \alpha }{L \cos^{4} \alpha }$.
