Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1296
2016-10-21 
На цилиндрический постоянный магнит вблизи одного из его полюсов надета катушка (см. рисунок), имеющая вид узкого кольца; вся система симметрична относительно оси $OO^{ \prime}$. Если трясти катушку вдоль оси $OO^{ \prime}$ так, чтобы она совершала гармонические колебания с амплитудой $a = 1 мм$, много меньшей размеров магнита и катушки, и частотой $f = 1000 Гц$, то в ней наводится ЭДС индукции с амплитудой $\mathcal{E}_{0} = 5 В$. Какая сила будет действовать на неподвижную катушку, если пропустить по ней ток $I = 200 мА$?
Решение:
Пусть радиус катушки равен $R$, а число витков в ней $N$. Тогда ЭДС индукции, возникающая в катушке при её небольшом смещении вдоль оси $OO^{ \prime}$, равна $\mathcal{E}(t) = - N \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t}$, где $\Delta \Phi$ - изменение магнитного потока через один виток катушки. Для того, чтобы найти $\Delta \Phi$, построим очень длинный цилиндр, ось которого параллельна $OO^{ \prime}$, одно из оснований опирается на катушку (см. рис.). Очевидно, что магнитный поток через один виток катушки равен магнитному потоку через боковую поверхность и другое основание этого цилиндра. Поэтому, если катушка смещается вдоль $OO^{ \prime}$ на малое расстояние $\Delta x$, то изменение магнитного потока через один виток равно изменению магнитного потока через боковую поверхность такого цилиндра, то есть $\Delta \Phi = 2 \pi R \Delta x B_{r}$, где $B_{r}$ — радиальная компонента вектора магнитной индукции поля, создаваемого магнитом в том месте, где находится кольцо. Следовательно, $\mathcal{E}(t) = - 2 \pi RN B_{r} \cdot v(t)$, где $v(t) = \Delta x/ \Delta t$ — мгновенная скорость катушки. Так как при гармонических колебаниях катушки амплитуда изменения её скорости равна $v_{0} = 2 \pi fa$, то амплитуда наводимой в катушке ЭДС индукции составляет $\mathcal{E}_{0} = 2 \pi RNB_{r} v_{0} = 4 \pi^{2} fa NRB_{r}$.
Если через неподвижную катушку пропустить постоянный ток $I$, то на неё будет действовать сила Ампера, направленная вдоль оси $OO^{ \prime}$ и равная $F = N \cdot 2 \pi RIB_{r}$. Учитывая выражение для $\mathcal{E}_{0}$, окончательно получим:
$F = \frac{I \mathcal{E}_{0}}{2 \pi fa} \approx 0,16 Н$.
На цилиндрический постоянный магнит вблизи одного из его полюсов надета катушка (см. рисунок), имеющая вид узкого кольца; вся система симметрична относительно оси $OO^{ \prime}$. Если трясти катушку вдоль оси $OO^{ \prime}$ так, чтобы она совершала гармонические колебания с амплитудой $a = 1 мм$, много меньшей размеров магнита и катушки, и частотой $f = 1000 Гц$, то в ней наводится ЭДС индукции с амплитудой $\mathcal{E}_{0} = 5 В$. Какая сила будет действовать на неподвижную катушку, если пропустить по ней ток $I = 200 мА$?
Решение:
Пусть радиус катушки равен $R$, а число витков в ней $N$. Тогда ЭДС индукции, возникающая в катушке при её небольшом смещении вдоль оси $OO^{ \prime}$, равна $\mathcal{E}(t) = - N \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta t}$, где $\Delta \Phi$ - изменение магнитного потока через один виток катушки. Для того, чтобы найти $\Delta \Phi$, построим очень длинный цилиндр, ось которого параллельна $OO^{ \prime}$, одно из оснований опирается на катушку (см. рис.). Очевидно, что магнитный поток через один виток катушки равен магнитному потоку через боковую поверхность и другое основание этого цилиндра. Поэтому, если катушка смещается вдоль $OO^{ \prime}$ на малое расстояние $\Delta x$, то изменение магнитного потока через один виток равно изменению магнитного потока через боковую поверхность такого цилиндра, то есть $\Delta \Phi = 2 \pi R \Delta x B_{r}$, где $B_{r}$ — радиальная компонента вектора магнитной индукции поля, создаваемого магнитом в том месте, где находится кольцо. Следовательно, $\mathcal{E}(t) = - 2 \pi RN B_{r} \cdot v(t)$, где $v(t) = \Delta x/ \Delta t$ — мгновенная скорость катушки. Так как при гармонических колебаниях катушки амплитуда изменения её скорости равна $v_{0} = 2 \pi fa$, то амплитуда наводимой в катушке ЭДС индукции составляет $\mathcal{E}_{0} = 2 \pi RNB_{r} v_{0} = 4 \pi^{2} fa NRB_{r}$.
Если через неподвижную катушку пропустить постоянный ток $I$, то на неё будет действовать сила Ампера, направленная вдоль оси $OO^{ \prime}$ и равная $F = N \cdot 2 \pi RIB_{r}$. Учитывая выражение для $\mathcal{E}_{0}$, окончательно получим:
$F = \frac{I \mathcal{E}_{0}}{2 \pi fa} \approx 0,16 Н$.
